2018高考数学大一轮复习 不等式选讲 课时达标检测（六十六）不等式的证明 理

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1、课时达标检测(六十六)不等式的证明1．已知函数f(x)＝

2、x＋3

3、＋

4、x－1

5、，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足a＋b＝t，求证：＋≥.解：(1)因为

6、x＋3

7、＋

8、x－1

9、＝

10、x＋3

11、＋

12、1－x

13、≥

14、x＋3＋1－x

15、＝4，所以f(x)min＝4，即t＝4.(2)证明：由(1)得a＋b＝4，故＋＝1，＋＝＝＋1＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时取等号，故＋≥.2．设不等式－2<

16、x－1

17、－

18、x＋2

19、<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：<；(2)比较

20、1－4ab

21、与2

22、a－b

23、的大小，并说明

24、理由．解：(1)证明：记f(x)＝

25、x－1

26、－

27、x＋2

28、＝由－2<－2x－1<0解得－

29、a

30、＋

31、b

32、<×＋×＝.(2)由(1)得a2<，b2<.因为

33、1－4ab

34、2－4

35、a－b

36、2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0.所以

37、1－4ab

38、2>4

39、a－b

40、2，故

41、1－4ab

42、>2

43、a－b

44、.3．(2017·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝

45、x－m

46、＋

47、x

48、，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β

49、)＝4，求证：＋≥3.解：(1)因为

50、x－m

51、＋

52、x

53、≥

54、(x－m)－x

55、＝

56、m

57、.要使不等式

58、x－m

59、＋

60、x

61、<2有解，则

62、m

63、<2，解得－2a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab

64、2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>

65、0，因此≥abc(当且仅当a＝b＝c时取等号)．5．已知x，y∈R，且

66、x

67、<1，

68、y

69、<1.求证：＋≥.证明：∵≤＝≤＝1－

70、xy

71、，∴＋≥≥，∴原不等式成立．6．(2017·长沙模拟)设α，β，γ均为实数．(1)证明：

72、cos(α＋β)

73、≤

74、cosα

75、＋

76、sinβ

77、，

78、sin(α＋β)

79、≤

80、cosα

81、＋

82、cosβ

83、；(2)若α＋β＋γ＝0，证明：

84、cosα

85、＋

86、cosβ

87、＋

88、cosγ

89、≥1.证明：(1)

90、cos(α＋β)

91、＝

92、cosαcosβ－sinαsinβ

93、≤

94、cosαcosβ

95、＋

96、sinαsinβ

97、≤

98、cosα

99、＋

100、si

101、nβ

102、；

103、sin(α＋β)

104、＝

105、sinαcosβ＋cosαsinβ

106、≤

107、sinαcosβ

108、＋

109、cosαsinβ

110、≤

111、cosα

112、＋

113、cosβ

114、.(2)由(1)知，

115、cos[α＋(β＋γ)]

116、≤

117、cosα

118、＋

119、sin(β＋γ)

120、≤

121、cosα

122、＋

123、cosβ

124、＋

125、cosγ

126、，而α＋β＋γ＝0，故

127、cosα

128、＋

129、cosβ

130、＋

131、cosγ

132、≥cos0＝1.7．(2017·重庆模拟)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1.求证：(1)2ab＋bc＋ca＋≤；(2)＋＋≥2.证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

133、≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，当且仅当a＝b时等号成立，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤.(2)因为≥，≥，≥，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．8．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝2

134、x＋1

135、＋

136、x－2

137、.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.解：(1)当x<－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x<2时，f(x)＝2

138、(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，因为＋＋＋(a＋b＋c)＝＋＋≥2＝2(a＋b＋c