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《(全国通用版)2019版高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 高考达标检测(六十)不等式证明 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考达标检测(六十)不等式证明1.已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.证明:∵a>0,b>0,a+b=2,∴+-1======.∵a+b=2≥2,∴ab≤1.∴≥0.∴+≥1.2.已知定义在R上的函数f(x)=
2、x+1
3、+
4、x-2
5、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解:(1)因为
6、x+1
7、+
8、x-2
9、≥
10、(x+1)-(x-2)
11、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+
12、12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.3.(2018·云南统一检测)已知a是常数,对任意实数x,不等式
13、x+1
14、-
15、2-x
16、≤a≤
17、x+1
18、+
19、2-x
20、都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.解:(1)设f(x)=
21、x+1
22、-
23、2-x
24、,则f(x)=∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,
25、x+1
26、-
27、2-x
28、≤a都成立,即f(x)≤a,∴a≥3.设h(x)=
29、x+1
30、+
31、2-x
32、,则h(x)=则h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,
33、x+1
34、+
35、2-x
36、≥a都成立,即h(x)≥a,∴a≤3.∴a=3.(2
37、)证明:由(1)知a=3.∵2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且m>n>0,∴(m-n)+(m-n)+≥3=3.∴2m+≥2n+a.4.已知x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1.(1)求++的最小值;(2)求证:x2+y2+z2≥.解:(1)∵x,y,z是正实数,且满足x+2y+3z=1,∴++=(x+2y+3z)=6++++++≥6+2+2+2,当且仅当=且=且=时取等号.(2)由柯西不等式可得1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=14(x2+y2+z2),∴x2+y2+z2≥,当且仅当x==,即x=,y=,z=时取等号.故x2+y2+z2
38、≥.5.(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)=
39、x
40、+
41、x-1
42、.(1)若f(x)≥
43、m-1
44、恒成立,求实数m的最大值M;(2)在(1)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.解:(1)由绝对值不等式的性质知f(x)=
45、x
46、+
47、x-1
48、≥
49、x-x+1
50、=1,∴f(x)min=1,∴只需
51、m-1
52、≤1,即-1≤m-1≤1,∴0≤m≤2,∴实数m的最大值M=2.(2)证明:∵a2+b2≥2ab,且a2+b2=2,∴ab≤1,∴≤1,当且仅当a=b时取等号.①又≤,∴≤,∴≤,当且仅当a=b时取等号.②由①②得,≤,∴a+b≥2ab.6.(2018·吉林实验中
53、学模拟)设函数f(x)=
54、x-a
55、.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4-
56、x-1
57、;(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥4.解:(1)当a=2时,不等式为
58、x-2
59、+
60、x-1
61、≥4.①当x≥2时,不等式可化为x-2+x-1≥4,解得x≥;②当1<x<2时,不等式可化为2-x+x-1≥4,不等式的解集为∅;③当x≤1时,不等式可化为2-x+1-x≥4,解得x≤-.综上可得,不等式的解集为∪.(2)证明:∵f(x)≤1,即
62、x-a
63、≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2],∴解得a=1,所以+=1(m>0,n>0),所
64、以m+2n=(m+2n)=2++≥2+2=4,当且仅当m=2,n=1时取等号.7.已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.(1)证明:若a+d>b+c,则
65、a-d
66、>
67、b-c
68、;(2)若t··=+,求实数t的取值范围.解:(1)证明:由a+d>b+c,且a,b,c,d均为正数,得(a+d)2>(b+c)2,又ad=bc,所以(a-d)2>(b-c)2,即
69、a-d
70、>
71、b-c
72、.(2)因为(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2,所以t··=t(ac+bd).由于≥ac,≥bd,又已知t··=+,则t(ac+
73、bd)≥(ac+bd),故t≥,当且仅当a=c,b=d时取等号.所以实数t的取值范围为[,+∞).8.已知函数f(x)=
74、x-1
75、.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;(2)若
76、a
77、<1,
78、b
79、<1,a≠0,求证:>f.解:(1)f(2x)+f(x+4)=
80、2x-1
81、+
82、x+3
83、=当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-;当-3≤x<时,-x+4≥8无解;当x≥时,由3x+2≥8,解得x≥2.所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解