高三数学二轮复习 专题4 导数及其应用导学案

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1、专题4：导数及其应用（两课时）班级姓名一、前测训练1．(1)曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为．(2)曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为．答案：(1)y＝3x＋2．(2)y＝2x或y＝－x．2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为．（2）函数上是增函数，则实数a的取值范围为．答案：(1)(0,)．(2)a≤．3．求下列函数极值(或最值)：(1)f(x)＝xlnx(2)f(x)＝sinx－x，x∈[－，]答案：(1)当x＝时，f(x)取极小值－．(2)当x＝－时，f(x)取

2、最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．答案：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln2a－1)．当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．答案：a＞6．已知f(x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求

3、实数a的取值范围．答案：(0,)二、方法联想1．切线方程涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意(1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．2．函数单调性(1)如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．(2)如果f(x)在某个区间为增函数，

4、那么在该区间f′(x)≥0；如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f′(x)≤0．注意求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”．3．函数极值(或最值)①求函数的定义域；②求f′(x)＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．4．极值(或最值)的分类讨论分类讨论根据f′(x)＝0解的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)．5．不等式恒成立问题法1：分

5、离常数法（优先）；法2：设F(x)＝f(x)－g(x)，转化F(x)的最值问题；法3：转化为二次不等式恒成立问题；法4：转化为一次不等式恒成立问题．6．方程有解(解的个数)问题方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化．法1：分离常数法（优先）；法2：设F(x)＝f(x)－g(x)，转化F(x)的图象问题．两者均要充分利用数形结合法．三、例题分析[第一层次]例1设函数f(x)＝x3－3ax＋b（a≠0）．（1）若曲线y＝f(x)在点（2，f(2)）处与直线y＝8相切，求a，b的值；

6、（2）求函数f(x)的单调区间与极值点．答案：（1）a＝4，b＝24．（2）①当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在（－∞，＋∞）单调递增，此时函数f(x)没有极值点．②当a＞0时，（－∞，－）和（，＋∞）是函数f(x)单调增区间；（－，）是函数f(x)单调减区间．x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．点（2，f(2)）是切点．突出切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．2．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零

7、的区间是原函数的减区间．3．解一元二次不等式时要结合二次函数的图象进行分类讨论．4．根据函数的单调性的变化，通过列表写出函数f(x)的极值点．例2设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a．（1）对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．答案：（1）m的最大值为－．（2）a＜2或a＞．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．不等式恒成立问题的处理方法1：分离常数法；方法2：转化为二次不等式恒成立问题．2．方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函

8、数零点问题之间可以相互转化．3．结合函数的单调性，研究函数的极大值、极小值，通过画出函数的简图解决问题．二、方法选择与优化建议：1．不等式恒成立问题优先考虑分离常数法．例3已知函数f(x)＝(1＋)ex，其中a＞0．（1）求函数f(x)的零点；（2）讨论y＝f(x)在区间（－∞，0）上的单调性；（3）在区间（－∞，－]上，f(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．答案：（1）函数f(x)的