高三数学 圆锥曲线中的最值问题复习学案

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1、江苏省苏州市第五中学高三数学圆锥曲线中的最值问题复习学案美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线”。探索得来的知识最难忘、最深刻，比教师直接给出的更有效，学生能体会到“发现”的真正乐趣。而探索并不神秘，又非不可高攀。教学中，可以从最基本的问题开始，这也许就是数学探索课的可行之路。下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。LABP图1问题1如图1，如何在直线L上求一点P，使最小。图2LPBA问题2目如图2，如何在直线L上求一点P，使最大。学生1：对于问题1，只要过A作关于L的对称点，再连结交直线L于P点，即所求。因为两点之间

2、线段最短。对于问题2，只要连结AB并延长交直线L于P点，即所求。因为三角形任意两边之差小于第三边。LYOXPFDA图3教师：看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最大对我们来说很容易，现在看下面的问题。问题3若A（3，2），F为抛物线的焦点，在抛物线上找一点P，使最小及取得最小值时P点的坐标。学生2：过A点作抛物线的准线L的垂线AD交抛物线于P点，此时，就是最小的。因为点到直线的所有线中，只有点到直线的距离最短。教师：与问题1比较，你发现了什么？学生3：（3分钟后）我认为问题3与问题1的本质是一样的，都是在线

3、（直线和曲线）找一点到两个定点的距离之和最小。并且解决的方法也一样，问题3中的D点就“好比”是F点关于抛物线（曲线）的“对称”点。如果我们把问题1中的直线想象成是拉直的曲线，那问题1不就是问题3的特殊情况吗？问题3不就是问题1的推广吗？（全班给予热烈的掌声）变式问题：已知A（3，2），F（2，0），在双曲线上求一点P，使其的值最小。学生4：与问题3的解题思路完全一样，只不过，此处要利用双曲线的定义来作“对称”。（后略）APXYO图4问题4：已知双曲线，是左焦点，A（-3，-1），在双曲线上求一点P使的值最小。（2分钟后）学生5

4、：此题应作出双曲线的右焦点，连结交双曲线于P点，即为所求。因为由双曲线定义知，，即，，此题是利用双曲线定义作的关于双曲线的“对称点”，转化成问题1的形式来求解的。教师：你分析得很好！请大家课后去解答完。下面谁来谈谈解决这类问题的收获？学生6：老师，我觉得还有一点没有考虑到，对于问题1，如果A、B两点在直线L的两侧，就用不着作对称，而直接连接AB交直线L于P就行了。同样对于问题3中的A、F和问题4中的A、也是一样的，如果它们在曲线的同侧，就用不着那么做了。学生7：（连忙站起来）看来我们首先应判断这两点是否在曲线的两侧，而其中有一

5、个点必是焦点，也就是说要判断另外那个点是否在曲线内就行了。教师：刚才两位同学都说得很好，对我们讨论的问题进行了补充，希望同学们也要有这种严谨的学习态度。谁再来谈收获。学生8：我认为在曲线（包括直线）上找一点到两个定点（这两个定点在曲线的同侧）的距离之和最大的问题，一般说来可以作出其中一点关于曲线的“对称点”，对于曲线来说，是广义上的对称，是利用曲线的定义（第一和第二定义）来作对称的。OAXY图5P教师：非常好！我已无话可说了。请大家给予热烈的掌声。问题5：在椭圆上找一点P，使它到的距离之和最大。（5分钟后）学生9：此题应属于问

6、题2的类型，因为是求曲线上一点到两个定点的距离之和最大，故应连结交椭圆于点P，即为所求。这样就把和最大的问题转化为差最大的问题了。即而只有当、A、三点在同一直线上时，才最大。教师：好！把未知的问题转化为我们熟知的问题来解决，这是我们解决数学问题常用的思想方法。哪位同学来把把这类问题小结一下？（下面有很多同学都跃跃欲试，我抽了一位平时数学成绩一般的学生）学生10：我认为在曲线（包括直线）上找一点到两个定点（这两点在曲线的同侧）的距离之差最大的问题，就是连结这两点并延长和曲线的交点，如果不是差最大，而是和最大，就应转化为差最大来解

7、，其转化就要用到圆锥曲线的相关定义。教师：同学10的小结很好，看来只要抓住了“本质”，就能以不变应万变！这节课的收获不小，为我们的成功而鼓掌！（全班掌声一片）