高中数学 1.3.3导数的实际应用导学案新人教b版选修2-2

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1、1.3.3导数的实际应用班级_______________姓名:__________一、【教材知识梳理】(一)导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:1、与几何有关的最值问题;2、与物理学有关的最值问题;3、与利润及其成本有关的最值问题;4、效率最值问题。(二)要求最值,首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。二、典例解析例1.如图,现有一块边长为

2、a的正方形铁板,如果从铁板的四个角各截去一个相同的正方形,做成一个长方体形的无盖容器。为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?跟踪练习1:某种圆柱形饮料罐的容积为V,如何确定它的高与底半径,才能使它的用料最省?例2.横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比。要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽度和高度应是多少?跟踪练习2:在等腰梯形ABCD中,设上底CD=40,腰AD=40,问AB多长时,等腰梯形的面积最大?(提示:设角A=θ)例3:如图所示,一海岛驻扎一支部队,海岛离

3、岸边最近点B的距离是150km,在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库。有一批军需品要尽快送达海岛。A与B之间有一铁路,现用海陆联运方式运送。火车时速为50km,船时速为30km,试在岸边选一点C,先将军需品用火车送到点C,再用轮船从点C运到海岛。问点C选在何处可使运输时间最短?三、课堂检测1.在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?2.将长为72cm的铁丝截成12段,搭成一个

4、正四棱柱的模型,以此为骨架做成一个容积最大的容器,问铁丝应怎样截法?四、课后强化训练1.一正方形内接于另一固定的正方形(顶点分别在四边上),问内接正方形的一边与固定正方形一边的夹角取什么值时,内接正方形的面积最小?2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=(0

5、最少?最少为多少升?3.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:,且生产x吨的成本为(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)4.甲乙两地相距400千米,一汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/小时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度u(千米/小时)的函数关系是。(1)试将全程运输成本Q(元)表示为速度u的函数;(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶?并求此时运输成本的最小值。

6、5.某造船公司年造船量是20艘,已知造船艘的产值函数为(单位:万元),成本函数为(单位:万元),又在经济学中,函数的边际函数定义为。(Ⅰ)求利润函数及边际利润函数;(提示:利润=产值成本)(Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(Ⅲ)求边际利润函数单调递减时的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

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