《复函复习提要》word版

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1、第一章复数与复变函数【本章教学目的和要求】：（1）熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解复数运算的几何意义；（2）理解区域，单连通区域，复连通区域和复球面等概念；（3）掌握一些曲线的复数表达式；（4）理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。【本章重点、难点】复数的运算，用复数方程表示曲线§1.1复数1、复数域：1）概念：每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。2）复数相等：复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。3）共轭复数：4）复数的四则运算定义为：2、复平面：C也

2、可以看成平面，我们称为复平面。作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；3、模与幅角：1）向量的长度称为复数的模，定义为：；若2）幅角：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。3）复数的三角形式与指数形式表示：三角表示定义为：指数表示：4）开方公式：（）4.三点共线问题：两点的参数方程§1.2复平面上的点集1.概念：领域、内点，外点、边界点、开集与闭集2.区域3、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线以及连通区域14§1.3复变函数1、单值函数与多值函数2、极限与连续性

3、：3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，，则等价于两个二元实变函数和。§1.4复球面与无穷远点1、引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。2、无穷远点的邻域：与去心邻域：第二章解析函数【本章教学目的和要求】(1)了解复变函数的可导与微分的概念；（2）理解解析的概念；（3）熟悉复变函数解析的充分条件；(4)了解初等解析函数主要性质。【重点、难点】函数解析性的判断，解析函数的充要条件第一节、解析函数概念与Cauchy-Riemann条件1、复变函数的导数与微分2、解析函数及简单性质：1）定义：如果在及

4、的某个邻域内处处可导，则称在处解析注1、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。2）解析函数的四则运算：3、Cauchy-Riemann条件：定理2.1（点可微必要条件）、定理2.2（点可微充要条件）、定理2.3（点可微充分条件）定理2.4（区域解析的充要条件）定理2.5（区域解析的充分条件）注解2、解析函数的导数形式更简洁：14注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否

5、在一点可微或在一个区域内解析：如以及在整个复平面内解析，而在任何点都不可微。第二节：初等函数1、指数函数：定义复指数函数，为从定义得；指数函数是周期为其基本周期函数；指数函数在整个复平面内有定义并且解析，2、三角函数与双曲函数：当时，上述复指数函数，，从而得到：。我们规定并分别称为的正弦函数和余弦函数。是奇函数，是偶函数；在平面上是解析的，且；及是为周期的周期函数。的零点为，的零点为事实上，可以写成如令即写成故，即：所以是的零点。在复数域内不能再断言14第三节初等多值函数1根式函数（1）定义：我们规定根式函数为幂函数

6、的反函数。都变成平面上除去原点及负实轴的区域。这是函数（1）的单叶性区域的分法。（2）分出的单值解析分支（3）的支点和支割线一般是具有这样性质的点，使得当变点绕这点旋转一周时，多值函数从一支变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的函数值相异，这样的性质的点，就称为支点。是以为支点的。用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称为的支割线2对数函数（1）定义：我们规定对数函数是指数函数的反函数。即若（3）则复数为复数的对数，记为令则（3）就是因而故方程（3）的全部根是或14称为的主值，于是。（2

7、）分出的单值解析分支仍以为支点3、一般幂函数与一般指数函数第三章复变函数的积分【本章教学目的和要求】(1)理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质；(2)掌握复变函数积分的计算方法；(3)掌握Cauchy积分定理及其推论；(4)熟练掌握用Cauchy积分公式及高阶导数公式计算积分。【重点、难点】柯西积分定理，柯西积分公式及高阶导数公式§1.复积分的概念及其简单性质1、复变函数的积分的定义：f(z)沿曲线C的积分，记为于是我们有：积分换元法：，2.复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1

8、）（2）（3），其中曲线C是有光滑的曲线连接而成；（4）。14（5）定理3.2（积分估值）如果在C上，

9、f(z)

10、