高中数学 3.4 不等式的实际应用学案 新人教b版必修5

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1、3.4 不等式的实际应用1.解有关不等式的应用题,首先要选用合适的字母表示题中的未知数,再由题中给出的不等量关系,列出关于未知数的不等式(组),然后解列出的不等式(组),最后结合问题的实际意义写出答案.2.在实际应用问题中,若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则.“一正”即必须满足“各项为正数”;“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”,求积的最大值必须使其和为“定值”;“三相等”就是必须验证等号是否成立.3.对于形如y=x+(k>0)的函数,如果利用均值不等式求最值,等号条件不存在,那么这时就可以考虑利用函数的单

2、调性进行求解.(1)当x>0时,f(x)=x+≥2(k>0),当x=时取“=”.另外,我们还可以证明f(x)在区间(0,]上为减函数,在区间[,+∞)上为增函数,据此单调性来求函数的值域.(2)当x<0时,∵f(x)=x+(k>0)(x≠0)为奇函数.∴f(x)在(-∞,-]上为增函数,在[-,0)上为减函数.一、构建一元二次不等式模型解决实际问题方法链接:二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用,构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义.例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创

3、造的价值y(元)之间有如下的关系:y=-2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?解 设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车,根据题意,得-2x2+220x>6000.移项整理,得x2-110x+3000<0,解得50

4、时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领.例2 如图,某农厂要修建3个矩形养鱼塘,每个面积为10000m2,鱼塘前面要留4m宽的运料通道,其余各边为2m宽的堤埂,问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少?解 设每个鱼塘的宽为xm,则x>0,且AB=3x+8,AD=+6,总面积y=AB·AD=(3x+8)=30048++18x≥30048+2=32448,当且仅当18x=,即x=时,等号成立,此时=150.答 鱼塘的长为150m,宽为m时,占地面积最少.三、利用函数单调性求最值问题方法链接:对于形如y=x+的函数,如果利用均值不等式求最值,等号条

5、件不存在,那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解.例3 某工厂有旧墙一面,长14米,现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房,工程条件是:①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为元;③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元.经讨论有两种方案:(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长;(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14;问如何利用旧墙,即x为多少米时,建造费用最省?(1)、(2)两种方案哪个更好?分析 以建造总费用为目标函数,通过函数求最小值来解本题.解 设利用旧墙的一面矩形边长为x米,

6、则矩形的另一面边长为米.(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长,则修旧墙费用为x·元.将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)·元,其余建新墙的费用为a元.故总费用为y=x·+·a+a=a=7a(0196.从而1->0,所以函数y

7、在[14,+∞)上为增函数.故当x=14时,ymin=a+2a=35.5a>35a.综上所述,采用第(1)种方案,利用旧墙12米为矩形的一面边长时,建墙总费用最省,为35a元.四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接:不等式的知识,尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查.一般是先建立函数模型或数列模型,再利用不等式的知识求某些量的范围或最值.例4 2009年推出一种新型家用轿车,购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用,第二年为0.2万元,从

8、第三年起,每年的维修费均比上一年增加0.2万元.(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n),求f(n)

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