高中数学 214函数的奇偶性学案 新人教b版必修1

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1、2.1.4函数的奇偶性一．学习要点：函数的奇偶性的定义、性质及其简单应用二．学习过程：引例：已知函数，，则有，讨论与、与的关系。1.函数奇偶性的定义：奇函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数。偶函数：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数。非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。奇偶性：如果一个函数在其定义域上是奇函数或是偶函数，则称函数具有奇偶性。注意：（1）“对任意，都有”，说明函数的定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。否则，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就

2、不具有奇偶性；（2）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数也未必具有奇偶性，还需判断是否等于，或判断是否等于零，或判断是否等于等等。（3）从函数奇偶性的角度，可将函数分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数以及既是奇函数又是偶函数；2函数奇偶性的性质：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数。注意：（1）若奇函数在处有定义，则；（2）既是

3、奇函数又是偶函数的函数图象在轴上。如是既奇又偶函数；（3）从区间看：函数的奇偶性是“整体”性质，单调性是“局部”性质。从图像看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性。例1判断下列函数是否具有奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．例2判断下列函数是否具有奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．3.判断奇偶性的方法：定义法：第一步，考查函数的定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不是关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。第二步，若关于原点对称，再考查与关系。若，则为奇函数；若，则为偶函数。图像法：图像关于原点对称奇

4、函数；图像关于轴对称偶函数。性质法：偶＋偶＝偶；偶－偶＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇＋奇＝奇；奇－奇＝奇；奇×奇＝偶；奇÷奇＝偶；偶×奇＝奇。4.函数奇偶性的应用：例3已知函数是偶函数，时，，求时的解析式。5.奇偶函数的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。例4设函数是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数，实数满足不等式，求实数的取值范围。例5研究函数的性质并作出它的图象。课堂练习1．下列函数中，是偶函数的是（）A．B．C．D．2．函数的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数3．下列说

5、法错误的是（）A．是偶函数B．偶函数的图象关于轴对称C．是奇函数D．奇函数的图象关于原点成中心对称4．给出四个结论：①偶函数的图象一定与轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．5．若奇函数在区间上是增函数，且最小值是4，则它在区间上是（）A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．给出下列函数表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，；⑦；⑧；⑨．其中奇函数为；偶函数为；非奇非偶函数为7．函数，则的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D

6、．既奇又偶函数8．已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（）A．B．C．D．9．函数是定义在区间上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（）A．B．C．D．10．函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在的最小值为（）A．B．C．D．以上都不对11．已知，，则等于（）A．B．C．D．12．给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中奇函数为；偶函数为；非奇非偶函数为xyOy13．偶函数的局部图象如图，若，则与的大小关系为14．设的图象关于轴对称，定义域为，则的值域为15．已知奇函数在上是增函数，试分析在上的单调性，并给出证明过程。18．已知为奇函数。（1）求，的值；（2）判断的

7、单调性，并用定义证明。