高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）学案 新人教a版必修4

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1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式学习目标：1．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．学习重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用学习难点：两角和与差正弦、余弦公式的灵活运用一．知识导学：1．两角和与差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝_________________________.C(α＋β)：cos

2、(α＋β)＝_____________________________.2．两角和与差的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝______________________________.S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.3．两角互余或互补(1)若α＋β＝___，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与________互余．(2)若α＋β＝____，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与__

3、_________互补，____________与π－α互补.二．探究与发现【探究点一】由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式．试一试写出推导过程．【探究点二】由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β)比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系

4、，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式．【探究点三】两角和与差的正、余弦公式的应用运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．例如，化简：sincos－cos·sin.【典型例题】例1　化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－)·

5、.跟踪训练1　(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；(3)sin－cos.例2　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求α.跟踪训练2　已知sinα＝，cosβ＝－，α为第二象限角，β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．例3　已知sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：tan(α＋β)＝2tanα.跟踪训练3　证明：－2cos(α＋β)＝.三、巩固练习：1．sin69°

6、cos99°－cos69°sin99°的值为(　　)A．B．－C．D．－2．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC等于(　　)A．B．－C．D．－3．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)的值域是________．4．已知锐角α、β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝_____.四、课堂小结：1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cosα－cossinα＝－cosα.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(

7、α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．