《复数及复变函数》word版

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1、第一章复数及复变函数§1.复数一.复数的基本概念1.复数形如的数称为复数；称x为复数的实部，记作；称y为复数的虚部，记作；称i为虚数单位，其中。2.复数的相等与共轭复数（1）设，称，当且仅当；说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,则不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.（2）设，称复数为z的共轭复数，记作；即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.重要公式：一.复数的四则运算及算律1.复数的代数运算设，规定：；；.2.算律：交换律：；;结合律：；;分配律：.3.共轭复数的性质(4)一.复平面称表

2、示复数集合的平面为复平面,复平面上的点或向量代表复数.§2.复数的三角表示一.复数的模与辐角1.模与辐角的概念设,称为复数z的模，称从x轴正向到复向量所夹的角为复数z的辐角，记作Argz,称满足的辐角为复数z的主辐角,记作argz.显然，复数z的模即为复向量的长度.2.模与辐角的性质设,有(1).(2).（斜边大于直角边）(3).(4).;(5)..(6).argz=问题数轴上的复数的辐角怎样？说明辐角不确定.二.复数的三角表示设=r，Argz=，利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示为称为复数z的三角表示.三.复数的指数表示设=r，Ar

3、gz=，利用欧拉公式复数可以表示为称为复数z的指数表示.例1求复数z=的三角表示.例2将复数化为三角形式.一.复数的乘、除及乘方、开方运算设：，则：;即：两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.（公式说明：所得到的复向量就是把所对应的向量伸缩倍，然后再旋转角；反之亦然。）;即：两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.;;;;从几何上看,例3用复数的三角形式计算.例4用复数的三角形式计算.例5解方程.例6求与用及表示的式子.例8若n为自然数，且其中，为实数，证明：§3.平面点集的一般概念一.开集与闭集1.

4、邻域称满足不等式的全体z的集合为点的邻域（实心邻域）；称满足不等式的全体z的集合为点的邻域（去心邻域）,记作或.2.内点、外点、边界点（1）设G为点集，z为G的一个元素，若存在一个z的邻域，该邻域全部含于G内，则称z为G的内点；（2）设G为点集，z不属于G，若存在一个z的邻域，该邻域全部在G外，则称z为G的外点；（3）设G为点集，z为z平面上的一个点，若对z的任意邻域，该邻域内都既有元素既含于G内，又有元素不含于G内，则称z为G的边界点;点集G的所有边界点的集合称为G的边界.1.开集与闭集若点集G中的所有点均为G的内点，则称G为开集；开集

5、的补集称为闭集.2.有界集与无界集若存在M>0,使得有，则称G为有界集，否则，称G为无界集.一.区域若点集D满足条件：（1）D为开集，（2）D为连通的，则称D为区域.即：区域就是连通的开集.二.平面曲线1.光滑曲线若曲线在区间内处处有连续的导数，且满足则称该曲线为光滑曲线.光滑曲线具有连续转动的切线。2.简单曲线（若当曲线）若连续曲线在区间内没有重点，则称该曲线为简单曲线（若当曲线）；若该曲线的起点与终点重合，则称该曲线为简单闭曲线（若当闭曲线）.3.若当定理任意一条简单闭曲线C必将z平面惟一地分为C,I(C),E(C)为三个点集，它们具

6、有如下性质：（1）彼此没有交集；（2）I(C)为有界域，称为C的内部；（3）E(C)为无界域，称为C的外部；（4）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C有交点。§4.复球面与无穷远点一.复球面复数还有一种表示方法，它是借助地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面上的点与球面上的点的对应，从而说明引入无穷远点的合理性。二.无穷远点规定,称为无穷远点.且有运算:.复平面加上无穷远点称为扩充复平面.设M>0,称满足不等式的全体复数的集合为无穷远点的邻域.说明：在扩充复平面上，内点、外点、边界点等概念

7、均可以推广到无穷远点，于是，复平面以为其惟一的边界点；扩充复平面以为其内点，且它是惟一的没有边界的区域。§5.复变函数一.复变函数的概念定义:设G为z平面上的点集，若有对应法则f，使得对于G内的任意一个z，通过f，都有w平面上的一个点集内的一个或多个确定的点w与之对应，则称该法则f为定义在G内的一个复变函数；记作.显然，复变函数的对应法则确定了以x，y为自变量的两个二元实函数反之，由以x，y为自变量的两个二元实函数也可惟一地确定一个复变函数.例9将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实函数。例10将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二

8、元实函数化为一个复变函数。二.复变函数的极限与连续性1.复变函数的极限定义:设复变函数在点的某一去心邻域内有定义，A为复定值，若：，不等式恒成立，则称当z趋于时，以A为极限，记作说明：（1）（