《图说微积分》word版

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1、图说微积分1希望能借这个帖子让初中数学水平的读者们能够有可能了解一下高等数学的基础---微积分。本主题面向的是初中水平读者，因此不考虑到理论和概念的严密论证或者定义，仅仅对一些东西点到为止，让读者形成一些感性的认识。更加细致的内容，各位请在具有一定数学基础后去翻阅专门的高等数学书籍。首先介绍一下函数，极限。当然是粗略地介绍。什么是函数我们来看两个例子：一个从阳台上被扔出来的冰箱距离地面的“高度”（是一个量，而且在冰箱下落过程中一直改变）在下落过程中总是随着“时间”（可以看作一个一直改变的量）的改变而改变。我们说，冰

2、箱距离地面的“高度”（它是个变化量）随着“时间”（它也是个变化量）的改变关系是一个“函数”。“时间”对“高度”这个“函数值”有决定作用，所以“时间”叫做自变量，“高度”叫做这个函数的应变量（或者“因变量”）。一个竹竿的影子的“方向”随着太阳在一天中的空中“位置”改变而改变。我们说，竹竿影子的“方向”（它是个变化量）随着“太阳位置”（它也是个变化量）的改变关系是一个“函数”。“太阳位置”对“竹竿影子方向”这个“函数值”有决定作用，所以“太阳位置”叫做自变量，“竹竿影子方向”叫做这个函数的应变量（或者“因变量”）。函数

3、就是两个变化量之间的相关性变化关系，通常描述为数学表达形式。一般习惯用y=f(x)来表示一个函数，这个表示方法中，x是函数自变量，y=f(x)整个叫做函数关系（简称函数），y就是因变量。一般来说，f(x)就是一个含有x的数学算式，只要把x的一个取值代入y=f(x)，就能得到对应于这个x值的y值。当然，我们的介绍是非常初步的，关于函数，还需要讨论函数自变量和因变量的取值范围之间的关系，需要涉及集合论，那是比较严格的函数概念定义，在这里，鉴于我们面向的读者知识基础有限，不做更多介绍，也避免介绍那些东西导致大家对我们主要

4、介绍的内容---函数的印象被冲淡。关于极限图说微积分1希望能借这个帖子让初中数学水平的读者们能够有可能了解一下高等数学的基础---微积分。本主题面向的是初中水平读者，因此不考虑到理论和概念的严密论证或者定义，仅仅对一些东西点到为止，让读者形成一些感性的认识。更加细致的内容，各位请在具有一定数学基础后去翻阅专门的高等数学书籍。首先介绍一下函数，极限。当然是粗略地介绍。什么是函数我们来看两个例子：一个从阳台上被扔出来的冰箱距离地面的“高度”（是一个量，而且在冰箱下落过程中一直改变）在下落过程中总是随着“时间”（可以看作

5、一个一直改变的量）的改变而改变。我们说，冰箱距离地面的“高度”（它是个变化量）随着“时间”（它也是个变化量）的改变关系是一个“函数”。“时间”对“高度”这个“函数值”有决定作用，所以“时间”叫做自变量，“高度”叫做这个函数的应变量（或者“因变量”）。一个竹竿的影子的“方向”随着太阳在一天中的空中“位置”改变而改变。我们说，竹竿影子的“方向”（它是个变化量）随着“太阳位置”（它也是个变化量）的改变关系是一个“函数”。“太阳位置”对“竹竿影子方向”这个“函数值”有决定作用，所以“太阳位置”叫做自变量，“竹竿影子方向”叫

6、做这个函数的应变量（或者“因变量”）。函数就是两个变化量之间的相关性变化关系，通常描述为数学表达形式。一般习惯用y=f(x)来表示一个函数，这个表示方法中，x是函数自变量，y=f(x)整个叫做函数关系（简称函数），y就是因变量。一般来说，f(x)就是一个含有x的数学算式，只要把x的一个取值代入y=f(x)，就能得到对应于这个x值的y值。当然，我们的介绍是非常初步的，关于函数，还需要讨论函数自变量和因变量的取值范围之间的关系，需要涉及集合论，那是比较严格的函数概念定义，在这里，鉴于我们面向的读者知识基础有限，不做更多

7、介绍，也避免介绍那些东西导致大家对我们主要介绍的内容---函数的印象被冲淡。关于极限如上图，一方饼，每天取走一半，如果日子无限地过下去，这饼最后会剩下多少？我们用数学方法来计算：设时间的天数为n，那么按照我们问题来看，这个n应该是自然数设这个饼整个的大小是1，每天取走它的一半，第一天（n=1），1-1x(1/2)=1/2=(1/2)^n，请注意，^代表乘方运算，n为指数第二天（n=2），(1/2)-(1/2)x(1/2)=1/4=(1/2)^n，请注意到这里的(1/2)是第一天剩下的第三天（n=3），(1/4)-(

8、1/4)x(1/2)=1/8=(1/2)^n，请注意到这里的(1/4)是第一天剩下的第四天（n=2），(1/8)-(1/8)x(1/2)=1/16=(1/2)^n，请注意到这里的(1/8)是第一天剩下的。。。于是我们发现，不论n=几，第n天“剩余饼量”（用B表示）的总是可以通过把天数n代入B=(1/2)^n这个算式算出来用前面的“函数”概念来说就是：“剩余饼