《换元积分法》ppt课件

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1、第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题1.【问题】2.【解决方法】3.【过程】令一、第一类换元法—凑微分法利用复合函数求导法，设置中间变量，把较难求的不定积分化为较易求的不定积分。我们称利用中间变量的代换求积分的方法为换元积分法。换元积分法分两类：第一类换元法（凑微分法），第二类换元法（变量代换法）。复合函数的积分法——换元法设则如果（可微）由此可得换元法定理4.【凑微分法方法推导】5.【定理1】第一类换元公式（凑微分法）将u换为x的可微函数仍然成立，这就大大扩大了基本积分公式的使用范围.【说明】用此公式关键在于将化为即【实质】将g(x)的积分转化为f

2、(u)的积分，如能求得f(u)的原函数，也就得到了g(x)的原函数.【例1】求【解Ⅰ】【解Ⅱ】【解Ⅲ】【注】观察重点不同，所得结论不同.见下例6【主要类型】【例2】求【解】（略）公式公式【例如】求【解】可省略，直接套上页公式⑦【例3】求【解】【例4】求【解】公式即类似地公式降幂法类似可求拆开奇次项凑微分【例5】求【解】降幂法【说明】化乘除为和式：积化和差—降幂.即公式角不相同类似地公式拆开奇次项凑微分【例6】求【解】【例7】求【解】（前已讲过.略）有理化指数代换—第二换元法同上【例8】设求。【解】令则公式分解为最简分式之和【例9】（降幂）（继续降幂）【例10】(展开)(展开)

3、二、第二类换元法——变量代换法1.【引例】2.【解决方法】改变中间变量的设置方法.［过程］（应用“凑微分”即可求出结果）【证】设为的原函数,令得则有换元公式【定理2】由复合函数及反函数求导法则第二类积分换元公式3.【变量代换法定理】即简言之【第一换元法】【第二换元法】积分之积分之4.【变量代换主要类型】【例9】求目的是化掉根式。【解】①令②令令【说明】当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中n为各根指数的最小公倍数）一般规律如下：当被积函数中含有目的也是化掉根式。【例10】求【解】令即公式【例11】求【解】令【例12】求【解】令即公式积分中为了化掉二次根式是否一定

4、采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定(如整个根式代换等)【说明】【例13】求（三角代换很繁琐）令【解】整个根式代换【例14】求【解】令整个根式代换【解Ⅰ】【例15】求令设m、n分别为被积函数的分子、分母关于x的最高次数，当n–m>0时，用倒代换可望成功.【解Ⅱ】（分母的阶较高）【例16】求【解】令（分母的阶较高）(4)【指数代换】:适用于被积函数f(x)由ax所构成的代数式.5.【基本积分表②】三、小结一、两类积分换元法：Ⅰ：凑微分.Ⅱ：根式代换、三角代换（双曲代换）倒代换、指数代换.二、基本积分表②【思考题】求积分【思考题解答】