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《高中数学 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 空间中的垂直关系例题与探究 新人教b版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2.3空间中的垂直关系典题精讲例1如图1-2-3-1,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心,求证:B1O⊥平面PAC.图1-2-3-1思路分析：要证B1O⊥平面PAC,根据直线和平面垂直的判定定理,只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线.证明:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,设其棱长为2a,因为B1B⊥平面AC,且AC平面AC,所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心,所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO.而B1O平面B1BO,所以B1O⊥AC.又PO2+OB12=3a2+6a2=9a2,PD12+B1D12=a
2、2+8a2=9a2,PB12=PD12+B1D12,所以PO2+OB12=PB12.所以B1O⊥PO.又PO∩AC=O,所以B1O⊥平面PAC.绿色通道：正方体是最常见的几何体,正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系,它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一.本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系,运用勾股定理的逆定理,通过计算证明了直线和直线垂直,再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直.黑色陷阱：证明直线与平面垂直时一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直,如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的,得到错误的结论.
3、变式训练1如图1-2-3-2,平面α内有一个半圆,直径为AB,过A作SA⊥平面α,在半圆上任取一点M,连结SM、SB,且N、H分别是A在SM、SB上的射影.图1-2-3-2(1)求证:NH⊥SB；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？思路分析：解题时以空间的眼光观察图形，正确地发现线面的位置关系.(1)证明：连结AM、BM.∵AB为已知半圆直径，∴AM⊥BM.∵SA⊥平面α，MBα，∴SA⊥MB.∵AM∩SA=A，∴MB⊥面SAM.∵AN面SAM，∴BM⊥AN.∵AN⊥SM,∴AN⊥面SMB.∵AH⊥SB于H,则NH为AH在面SMB内的射
4、影,∴NH⊥SB.(2)解：由(1)知,SA⊥面AMB,BM⊥面SAM,AN⊥面SMB.∵SB⊥AH且SB⊥HN,∴SB⊥平面ANH.∴图中共有4个线面垂直关系.(3)解：∵SA⊥平面AMB,∴△SAB、△SAM均为直角三角形.∵BM⊥平面SAM,∴△BMA、△BMS均为直角三角形.∵AN⊥平面SMB,∴△ANS、△ANM、△ANH均为直角三角形.∵SB⊥平面AHN,∴△SHA、△BHA、△SHN均为直角三角形.综上所述，图中共有10个直角三角形.例2如图1-2-3-3,立体图形P—ABCD的侧面PAD是正三角形,且垂直于底面,底面ABCD是矩形,E是PD的中点.求证:平面
5、ACE⊥平面PCD.图1-2-3-3思路分析：要证平面ACE⊥平面PCD,只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面,即只需在该平面内找一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可.证明：∵△PAD为正三角形,E为PD的中点,∴AE⊥PD.又∵平面PAD⊥平面AC,平面PAD与平面ABCD交于AD,DC⊥AD,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.∴AE⊥平面PCD.又∵AE平面ACE,∴平面ACE⊥平面PCD.绿色通道：要证平面ACE⊥平面PCD,关键是利用平面与平面垂直的性质定理得CD⊥AE,再利用正三角形的性质及直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理.变式
6、训练2如图1-2-3-4,在立体图形A—BCD中,各个面均是正三角形,G、F、M分别是BC、AB、AC的中点,过FG的平面与平面ACD相交于EH,求证:平面BMD⊥平面FGHE.图1-2-3-4证明：因为△ABC是正三角形,M为AC的中点,所以MB⊥AC,同理,MD⊥AC.所以AC⊥平面BDM.又F、G为AB、CB中点,所以FG∥AC.所以FG⊥平面BDM,FG平面FGHE.所以平面BDM⊥平面FGHE.例3过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图1-2-3-5，∠BSC=90°,∠ASC=∠ASB=60°，若截取SA=SB=SC=a,(1)求证：平面ABC⊥平面BS
7、C;(2)求S到平面ABC的距离.图1-2-3-5思路分析：要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，需在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明:∵SA=SB=SC=a，又∠ASC=∠ASB=60°，∴△ASB和△ASC都是等边三角形.∴AB=AC=a.取BC的中点为H，连结AH，∴AH⊥BC.在Rt△BSC中，BS=CS=a，∴SH⊥BC，BC=a.∴AH2=AC2-CH2=a2-(a)2=.∴SH2=.在△SHA中，AH2=，SH2=，SA2=a2.∴SA2=SH2+HA
