2014版高考数学一轮复习 8.7 立体几何中的向量方法(ⅱ)求空间角与距离 理 苏教版

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1、8.7立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角与距离一、填空题1.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则

2、

3、为________.解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),∵点M在AC1上且=,∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z)∴x=a,y=,z=.得M,∴

4、

5、==a.答案 a2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉

6、的值为________.解析 设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图),可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos〈,〉=-,所以sin〈,〉=.答案 3.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是________.解析两平面的一个单位法向量n0=,故两平面间的距离d=

7、·n0

8、=.答案 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,

9、E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________.解析 建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1),cos〈,〉==.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案 5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则直线NO、AM的位置关系是________.解析 建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,

10、0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,t,2),=(-1,1-t,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO、AM的位置关系是异面垂直.答案 异面垂直6.已知直二面角αlβ,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=________.解析 如图,建立直角坐标系Dxyz,由已知条件B(0,0,1),A(1,t,0)(t>0),由AB=2解得t=.答案 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中点,G是DD1中点,F

11、是BC上一点且FB=BC,则GB与EF所成的角为________.解析 如图建立直角坐标系Dxyz,设DA=1,由已知条件G,B,E,F,=,=cos〈,〉==0,则⊥.答案 90°8.正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________.解析 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=

12、(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos〈,n〉===.∴〈,n〉=60°,∴直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.答案 30°9.已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________.解析 如图,建立直角坐标系Dxyz,设DA=1由已知条件A(1,0,0),E,F=,=设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),面AEF与面ABC所成的二

13、面角为θ由令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3)平面ABC的法向量为m=(0,0,-1)cosθ=cos〈n,m〉=,tanθ=.答案 10.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为________.解析 以D为原点,DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图:设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P,C(0,a,0),则MC=,MP=.由MP

14、=MC得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.答案 ①11.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BD1上,当∠APC最大时,三棱锥PABC的体积为________.解析 以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图所示).设B=λ,可得:P(λ,λ,λ).再由cos∠APC=可求得当λ=时,∠APC最大.故VPABC=××1×1×=.答案 12.P是二面角αABβ棱上的一点,分别在α、β平面上引射线PM、PN,如果

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