2013届高考数学一轮复习讲义：8.7立体几何中的向量方法(ⅱ)求空间角与距离

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1、一轮复习讲义立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离忆一忆知识要点忆一忆知识要点忆一忆知识要点求异面直线所成的角求直线与平面所成的角求二面角求空间距离11利用空间向量求空间角点、线、面之间的位置关系空间几何体空间几何体的结构空间几何体的体积、表面积柱、锥、台、球的结构特征三视图与直观图的画法空间角角的范围图形计算公式线线角线面角面面角ll①法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.DCBA②方向向量法：设二面角α-l-β的大小为θ，其中l①点P在棱

2、上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法作二面角的平面角的常用方法l1.定义法3.垂面法2.垂线法空间角图形角的范围计算公式线线角线面角面面角求点到平面的距离定义:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到平面的距离.即过这个点到平面的垂线段的长度.ABO方法2:等体积法求距离.方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂线段的长度.APO点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为.则点P到平面的距离求点到平面的距离方法3:向量法

3、空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的距离相互之间的转化直线与平面所成的角异面直线所成的角定义法法向量法方向向量法则D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB.∵PD⊥平面ABCD,OC⊂平面ABCD，∴PD⊥OC.∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.所以PC与平面PBD所成的角为300.解:如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2,又∵DB∩PD=D,∴OC⊥平面PBD.(2)设平面PAC的法向量为令x=

4、1,则y=1,z=1，所以D到平面PAC的距离(3)假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE，所以存在E点且E为PB的中点时PC⊥平面ADE.【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.由PC⊥AE,PC⊥DE,得此时E(1,1,1).ACDEB例2．解：(Ⅰ)设平面ADE的法向量为所以，设平面ABE的法向量为（Ⅱ）由（Ⅰ）得，解:⑴⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小；所以二面角P-BC-D的余弦值大小是⑶求点D到平面PBC的距离.⑵求二面角P-BC-D的余弦值大小；所以二面角P-BC-D的余弦值是因为二面角P-BC-D的大小是锐角,⑶求点D到平面PBC的距离.xyzHADCBM

5、证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．又D是AB的中点，∴在△ABC1中，DE∥BC1.∴BC1∥平面CA1D.又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，EE(1)证法二：(1)证法三：A1B1C1ABCDD1又AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面AA1B1B.又CD⊂平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD.证明：(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴在△ABC中，AB⊥CD.【例】如右图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所

6、在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：如右图(1)取AD的中点G，连结PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中,∠DAB＝60°,AD＝AB，∴△ABD为等边三角形,∴BG⊥AD.∴AD⊥PB.∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，G(2)连结CG，DE，且CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG,交PC于F点,连结DF.∴平面DHF⊥平面ABCD.∵PG⊥平面ABCD.∴FH⊥平面AB

7、CD.又FH⊂平面DHF，即F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.∵H是CG的中点，∴F是PC的中点.今日作业则D(0,0,0),A(2,0,0),O(1,1,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，(1)∵正方形ABCD，∴OC⊥DB.∵PD⊥平面ABCD,OC⊂平面ABCD，∴PD⊥OC.∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.所以PC与平面PBD所成的角为300.解:如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵PD=AD=2,又∵DB∩