傅立叶变换与拉普拉斯变换

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1、附录A傅里叶变换1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS狄立赫雷条件：在同一个周期内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积。傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集，函数周期为T1，角频率为。任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。傅里叶级数：系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。称为信号的基波、基频；为信号的n次谐波。根据欧拉公式：复指数形式的傅里叶级数：(1)周期信号的傅里叶频谱：(i)称为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级

2、数谱或FS谱。(ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1)信号f(t)的傅里叶变换：是信号的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。(2)频

3、谱密度函数的逆傅里叶变换为：(3)称为FT的变换核函数，为IFT的变换核函数。(4)FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。(5)FT具有可逆性。如果，则必有；反之亦然。(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成42(i)称为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性；(ii)称为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7)FT频谱可分解为实部和虚部：(8)FT存在的充分条件：时域信号绝对可积，即。注意

4、：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(1)FT及IFT在赫兹域的定义：；(2)比较FS和FT：FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱(1)单边指数信号：图1(a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱(2)偶双边指数信号：图2(a)偶双边指数信号(b)频谱(3)矩形脉冲信号42图3(a)矩形脉冲信号(b)频谱(4)符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT。图5(a)符号函数(b

5、)频谱(5)阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在FT图6单位阶跃函数及其幅度谱附录B拉普拉斯变换及反变换一．拉普拉斯变换及逆变换定义式：设有一时间函数f(t)[0,∞]或0≤t≤∞单边函数其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。如

6、f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为42其中积分下标取0-而不是0或0+，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。拉普拉斯反变换：这是复变函数的积分拉氏变换和拉氏反变换可简记如下F(S)=L[f(t)]；f(t)=L-1[F(s)]拉氏变换的基本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为零时3积分定理一般形式初始条件为零时4延迟定理（或称域平移定理）5衰减定理（或称域平移定理）6终值定理7初值定理428卷积

7、定理常用函数的拉氏变换和z变换表序号拉氏变换时间函数Z变换11δ(t)12345678910二．拉普拉斯反变换的应用用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设是的有理真分式，即（）式中，系数和都是实常数；是正整数。按代数定理可将展开为部分分式。分以下两种情况讨论。（1）无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即（F-1）42式中，是特征方程A(s)＝0的根；为待定常数，称为在处的留数，可按下列两式计算：（F-2）或（F-3）式中，为对的一

8、阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为＝(F-4)（2）有重根：设有r重根，F(s)可写为=式中，为F(s)的r重根，，…，为F(s)的个单根；其中，，…，仍按式(F-2)或式(F-3)计算，，，…，则按下式计算：(F-5)原函数为（F-6）用拉普拉斯变换解微分方程：例1求解常微分方程，.解：令，在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件，得42，求解此方程得，求Laplace逆变换，得.例2求解常微分方程，.解：令，在方程两边取Laplace变