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1、多元微积分自由探索——谨以本文献给我的师姐黄慧敏杨科中国平安保险公司四川分公司,四川成都(610041)E-mail:more2006e@sina.com摘要：在球面坐标系,闭合参数曲面积分和三重积分的计算方法已经固有---以Ostrogradskii-Gauss公式为理论依据和验证准绳[非闭合参数曲面,可运用Stokes公式],将曲面积分和三重积分推广到任意参数曲面坐标系,实现任意参数曲面积分和任意空间区域三重积分;同样,在极坐标系,闭合参数曲线积分和二重积分的计算方法也已经固有---以Green公式为理论依据和验证准绳,将二重积分
2、推广到任意平面坐标系,实现任意平面区域二重积分.关键词：向量场数量场任意参数曲面积分任意空间区域三重积分任意平面区域二重积分自由平面积自由体积自由曲面积中图分类号：O17引言通用数学分析教材所涉及的第一型曲面积分[即数量场曲面积分]和第二型曲面积分[即向量场曲面积分]的计算,多是采用投影法,其基本思路是将空间区域中的曲面积分,转化为某一坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的[1][2].A..第一型曲面积分[即数量场曲面积分]演示[Maple格式,以后相同]:[3]>restart;#内存清空>with(plots):#加载绘图工
3、具库>CS:=x+y^2-z;#设定积分曲面函数表达式>CSx:=[0,1];>CSy:=[0,2];>CSz:=[0,5];#设定积分曲面有界区域>implicitplot3d(CS,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2]);g1:=%:#积分曲面作图图1[引言部分]函数型积分曲面>M3VF:=y;#设定数量场[三元函数]>implicitplot3d(M3VF,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2],colo
4、r=cyan);g2:=%:#数量场[三元函数]作图图2[引言部分]数量场[三元函数]等值面>display(g1,g2);#图形合并,得到数量场和积分曲面的空间直观图3[引言部分]函数型积分曲面和数量场[三元函数]等值面>Int(Int(M3VF*sqrt(1+(Diff(CS,x))^2+(Diff(CS,y))^2),x=CSx[1]..CSx[2]),y=CSy[1]..CSy[2]);#投影,计算二维面元并与三元函数求积,再计算'xy平面'的二重积分>value(%);B.第二型曲面积分[即向量场曲面积分]演示:[3]>re
5、start;#内存清空>with(plots):#加载绘图工具库>CS:=x^2+y^2-z;#设定积分曲面函数表达式>CSx:=[0,1];>CSy:=[0,1];>CSz:=[0,1];#设定积分曲面坐标区域>implicitplot3d(CS,x=CSx[1]..CSx[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2]);g1:=%:#积分曲面作图图4[引言部分]函数型积分曲面>V3F:=[exp(y),y*exp(x),x^2*y];#定义向量场>fieldplot3d(V3F,x=CSx[1]..CS
6、x[2],y=CSy[1]..CSy[2],z=CSz[1]..CSz[2],arrows=SLIM)：g2:=%:#向量场作图>display(g1,g2);#图形合并,得到向量场和积分曲面的空间直观图5[引言部分]函数型积分曲面和积分向量场>Int(Int(V3F[1]*(-Diff(CS,x))+V3F[2]*(-Diff(CS,y))+V3F[3],x=CSx[1]..CSx[2]),y=CSy[1]..CSy[2]);#将曲面积分转化为'xy平面'上的二重积分>value(%);C.这是一被通用数学教材普遍采用的例证:[3]
7、>restart;>with(plots):with(linalg):>implicitplot3d({x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1},x=0..1,y=0..1,z=0..1);g1:=%:#定义和绘制积分曲面图6[引言部分]正方体外观的积分’曲面’>fieldplot3d([x*y,y*z,x*z],x=0..1,y=0..1,z=0..1,arrows=SLIM,color=black):g2:=%:#定义和绘制被积分向量场[x*y,y*z,x*z]>display(g1,g2);#合并图形图7[引言部分]正方
8、体的积分’曲面’和积分向量场>diverge([x*y,y*z,x*z],[x,y,z]);#求被积分向量场散度>Int(Int(Int(y+z+x,x=0..1),y=0..1),z=0..1);#利用Ostrogra
