多元数量值函数积分学复习

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1、第七章多元数量值函数积分学7．1多元数量值函数积分的概念与性质一、多元数量值函数积分的概念＝I＝可积的必要条件若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有界。可积的充分条件若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上必可积。二、多元数量值函数积分的性质1.2.34，则5设分别是f(M)在闭几何形体上的最大值和最小值，则6积分中值定理设函数f(M)在闭几何形体上连续，则在上至少存在一点，使得三、多元数量值函数积分的分类1．二重积分=。2．三重积分=,(1)3．对弧长的曲线积分＝或4．对面积的曲面积分＝,127.2二重积分计算方法

2、：“画线定限”累次积分积之。说明：1方法：“画线”定限（切点D）2选择积分次序要合适，若先y后x不能积出结果。3不可积函数等等例1计算解；习题1计算2计算3于上连续，，求。解令，则，，，原式例2交换积分次序（1）（2）例4（函数的奇偶性与区域对称性）12引例和围成区域关于轴对称关于是奇函数关于轴对称，关于是奇函数。规范语言：中被积函数关于是奇函数，区域关于对称，中被积函数关于奇函数，区域关于对称，则积分为零。反之，被积函数关于是偶函数，区域关于对称，则积分等于一半区间上积分值的二倍。例计算，其中由，，围成，连续。解作，分区域为，，，如图原式

3、注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对的。例5（极坐标）计算双纽线围成区域的面积。解由对称性12注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则）例6计算例7计算关于轮换对称性说明：互换，区域若保持不变，微元不变，即可使用，此时被积函数常发生变化。例8计算，其中连续恒号。解则。例9将极坐标形式的累次积分交换积分次序。解将由构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交换积分次序7.3三重积分7.3.1概念与形式1．性质：与二重积分相同2．计算方法：1）直角坐标：投影法12截面法2）柱面坐标＝球面坐标3）一般方法（2.6）

4、其中。7.3.2例题例1计算，其中V：z＝0，y＝0，，围成的区域。解。例2将，分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形式，其中V为和围成部分。解（1）直角坐标系下：（2）柱坐标系下：（3）球坐标系下例3计算，其中V：与围成区域。解12其中。亦可用柱坐标系例4设，其中连续。为，，求和。解。例5，V：。解由奇偶性由轮换对称性，故原式7.4数量值函数的曲线与曲面积分的计算7.4.1第一型曲线积分的计算物理解释：视为密度函数，则积分为曲线质量。12几何解释：1.取，积分为曲线弧长。2.第一型曲线积分，当时，表示以xOy平面上的曲线段L为

5、准线。母线平行于z轴，高度为f(x,y)的柱面面积。一、计算方法：设参数，化定积分1．2.3.1’2’(此类空间曲线常以隐式方程形式出现)特殊的：平行轴线段，平行轴线段例1计算，如图ABCDEA解其中12,,故原式例2设为周长为a的椭圆。计算解由对称性，例3计算，交线解由轮换对称性，原式习题1．计算，摆线，（一拱）（2．计算，，一周（星形线：）3．计算，双纽线的一周（）7.4.2第一型曲面积分的计算一、物理解释：时得曲面面积二、计算方法：投影，做二重积分1．若曲面方程为，则122．若曲面方程为，则3．若曲面方程为，则三、例题例1计算，表面解

6、原式例2计算，其中是介于，之间的柱面。解（1）曲面向面投影，由对称性原式，，原式解（2）取微元，原式例3是椭球面的上半部分，点，是在12点的切平面，为原点O到切平面的距离。求。解设是切平面上任意点，则切平面的方程为又由S：，得，由对称性，故例4计算，解依对称性，再轮换对称性，则7.5数量值函数积分应用举例对几何形体来说，上的可加量的微元的一般形式为，即，，其中为的任一子量，为上的连续函数，而且是当时的无穷小。找到微元后以后，对在上积分即得Q，也即7.5.1几何问题举例7.5.2质心与转动惯量质心坐标为12形心为，其中薄片对x轴及y轴的转动惯

7、量为物体对于轴的转动惯量为，例1求均匀椭圆绕直线的转动惯量，并说明为何值时转动惯量最大。解若，转动惯量与无关若，，绕轴的转动惯量最大。若。，绕轴的转动惯量最大，此时直线为。7．5．3引力物体对位于处的单位质量的质点的引力近似地为，12其中为引力元素在三个坐标轴上的分量，，为引力常数，将在上分别积分，即得F.例1设平面薄片占有平面上的半圆闭区域，，面密度为常数，求它对位于处的单位质量的质点的引力。解由对称性有，，（G为引力常数）12