第五章定积分学习指导

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1、第五章定积分学习指导一、基本内容（一）定积分的定义设于（X）在［a,b］上有界,在［a,b］上任意插入若干个分点a=x0

2、0(兀)+lg(x)J/x=k^jx)dx+l^g{x)dx2.可加性:Jbf(x)dx=j'f(x)dx+jbf{x)dx3.比较性：若在［a,叶上f(x)ng(x),贝0jbf{x)dx>jbg{x)dx,取g(x)=0得若/(x)>0,则f{x)dx>0o4.估值性：设M和加是/(x)在［ad］上的最大值和最小值，贝IJm(b-6r)

3、［d,b］上连续，①（兀）=］/（兀皿（0vxvb）,则①（兀）在［d,b］连续、可导且①匕）=/（%）,即①（兀）是于⑴的一个原函数。由此可得：若F（x）=J；；/（讪则F（兀）=/［/?（x）］&'（x）-F［a（x）］tz'（x）。（三）定积分的计算1.牛顿■莱布尼兹公式：若F（x）是/⑴的一个原函数，则hj{x）dx=F（x）：=F（b）-F（a）2.换元积分法：略3.分部积分法：I*udv=uvh-［udvJa"Jd（四）广义积分1.无穷区间上的广义积分设/（%）在［d,+oo］内连续，取〃＞0若limbf{x）dx存在，则称广义积分Z?T

4、+ooJa「f（x）dx收敛，否则为发散，同理可定义

5、bf{x）dx和2.无界函数的广义积分设于（x）在［«,/?］±连续，在点a的某邻域内无界，取£〉0,若limf"f（x）dx存在，称广义积分y（x）dx收敛，否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间内部的广义积分。二、基本要求1.掌握定积分的定义，了解定积分概念产生的背景；2.掌握变积分限函数的性质及求导方法；3.掌握牛顿莱布尼兹公式，熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法；4.理解定积分的有关性质并注意解题与证题中的应用；5.了解广义积分的定义，并能计算一些简单的广义积分。三、重点与难点1•重点：

6、定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算；2.难点：利用定积分的一些定义和性质来解题或证明。四、学习中应注意的几个问题1•理解定积分的几何意义J/(x)Jx(/(x)>0)由曲线y=于(兀)及直线x=aX=时，b和y=0所围曲边梯形的面积，这是用定积分解决有关面积问题的基础;2.积分限问题。在尢中一般b>a，但为讨论问题的方便，规定a=bJf(x)dx=0；d>b时，jf{x)dx=f{x)dx；3.遇到函数绝对值的定积分，应将绝对值去掉，即分区间进行讨论；用换元法积分时，应牢记换元应换限；5.解题或证题中，若遇有变限定积分，可以优先考虑用导数来处理

7、;五、例6.二个公式：若f(x)是奇函数则Jf(x)dx=0若y(x)是偶函数贝！IJ"f(x)dx=2^f{x)dx典型例题计算J：

8、lnx解：*/jInxdx-xx-{x-—dx=xx-x+CJx•I原式=J；一Inxdx+jxdx=(兀lnx—x)

9、[+(xln%-x)

10、

11、=1--+1=2

12、1--eI£丿求极限乌sinx-1sinx—解：原式=lim°2、*=丄]曲沁显x"—y[x3*"x3例3证明：若/⑴是奇函数，则(，f(x)dx=0J一么而匸/⑴八一山)=J：/*(讪=-^f(x)dx・••匸丿⑴力=-J(：/G)dx+打(兀加

13、Oo例4计算『计厶解：令^ex-1=tx=ln（l+r）,dx=—dt71+严兀=0时，f=0,兀=ln5时（=2,代入得：原式訂2（l+r）-r2t0z2+4r+严0/2+4=42=4-71（八dt=2t-larctg—I2丿（）例5计算^xe02_.xe~Adx-x訂：—2Joxe~xdx="sec—T2L/n_i2（2丿01——e2和-丄宀丄222/(X)是以/为周期的连续函数，证明f(

14、x)dx的值与a无关。证：广f(x)dx=

15、V(x)Jx++J；"f{x)dx而