导数的定义和几何意义

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1、导数的定义和集合意义（导数辅导一）一、定义的理解1．叫函数在处的导数，记作。注：①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，）的割线斜率。④导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（，）处的切线的斜率。2.函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点，处的切线的斜率。注：①用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标

2、的导函数值为切线斜率）。②注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。3.（1）几种常见的函数导数：①、（c为常数）；②、（）；③、=；④、=；⑤、；⑥、；⑦、；⑧、.（2）求导数的四则运算法则：；；4.复合函数的求导法则：或二、典例选讲：（1）定义的应用81、若，则等于：(A)-1(B)-2(C)1(D)1/2解析：∵，即=2=-1。2、设函数在任何处可求导且()A．0B．C．　1D．23、设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式

3、为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.　如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.　它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是：（）A．2B．8C．10D．16练习：若，则=，=，=，=。（2）导数的几何意义1）关于倾斜角1、曲线在点处切线的倾斜角为（　　）A．1B．C．　D．2、点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、B、C、D、3、设为曲

4、线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（　　）A．B．C．D．练习：①曲线y=-tanx在点（处的切线的倾斜角为8②设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为()A．B．　C．　D．③已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是A、[0,)B、C、D、2）关于切线（方程或方程组的思想）1、①已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标是（　　）A．　　B．　　C．　D．②已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）　A．2B．3C．D．12、①曲线与直线

5、相切，则实数____________．②已知直线与抛物线相切，则③已知直线y=x＋1与曲线相切，则α的值为()A.1B.2C.－1D.－2④若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.⑤已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则的值类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．方法：例1　曲线在点处的切线方程为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程8此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．方

6、法：例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：设为切点，则切点的斜率为．．由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线上的点的切线方程．解：设想为切点，则切线的斜率为．切线方程为．．又知切线过点，把它代入上述方程，得．解得，或．故所求切线方程为，或，即，或．评注：可以发现直线并不以为

7、切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4　求过点且与曲线相切的直线方程．解：设为切点，则切线的斜率为．切线方程为，即．又已知切线过点，把它代入上述方程，得．8解得，即．评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．变式　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．解：曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，则点的坐标满

8、足．因，故切线的方程为．点在切线上，则有．化简得，解得．所以，切点为，切线方程为．评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．2004年江苏第二次模拟试卷（常州卷）卷11：过点P作曲线y=x3的两条切线L1与L2,设L1，L2的夹角为