高一必修4平面向量的数量积及平面向量的应用

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1、平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标认知学习目标：　　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；　　2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；　　3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；　　4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；　　5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；　　6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：　　数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.难点：　　用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一：平面向量的数量积　　1.平面向量数量积(内积)的定义：　　已知两个非零向量与，

2、它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.　　2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.　　要点诠释：　　1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别　　(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.　　(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的　　　数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”　　　代替.　　(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出　　　.因为其中有可能为0.　　2.投影也是一个数量，不是向量；当为

3、锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.知识点二：向量数量积的性质　　设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.　　1.　　2.　　3.当与同向时，；当与反向时，.特别的或　　4.　　5.知识点三：向量数量积的运算律　　1.交换律：　　2.数乘结合律：　　3.分配律：　　要点诠释：　　1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；　　2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是　　显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.知识点四：向量数量积的坐标表示　　1.已知两个非零向量

4、，，　　2.设，则或　　3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用：　　(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件　　　　　(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件　　　　　(3)求夹角问题，利用　　(4)求线段的长度，可以利用或2.向量在物理中的应用：　　(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；　　(2)向量在速度分解与合成中的作用.经典例题透析类型一：数量积的运算　　1．已知下列命题：　　①；　　　　②；　　③；　④　　其中正确命题序号是___________.　

5、　思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.　　解析：②、④.　　2．已知；(2)；(3)的夹角为30°，分别求.　　解析：(1)当时，　　　　　　或.　　　　　(2)当时，.　　　　　(3)当的夹角为30°时，.　　举一反三：　　【变式1】已知，求.　　解析：　　总结升华：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.类型二：模的问题　　3．已知向量满足，且的夹角为60°，求.　　解析：，且的夹角为60°　　　　　；　　总结升华：要根据实际问题选取恰当的公式　　举一反三：　　【变式1】已知的夹角为，，，则等于()　　A5　

6、　　B.4　　　C.3　　　D.1　　解析：，，解得，故选B.　　总结升华：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.类型三：夹角问题　　4．①已知，求向量与向量的夹角.　　　　　　②已知，夹角为，则___________.　　解析：①，　　　　　　故夹角为60°.　　　　　②题意得.　　总结升华：求两个向量的夹角，需求得，及，或得出它们的关系，在求解过程中要注意夹角的范围，同时要正确理解公式.　　5．已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角.　　解析：由条件知且　　　　　∴①　　　　　②　　　　　由①-②得，代入①　　　　　∴　　　　　∴　　　　　即所求向量的夹角

7、为.　　举一反三：　　【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.　　解析：法一：将两边平方得　　　　　　　　，则，故的夹角为30°.法二：数形结合总结升华：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.　　【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角.　　解析：设为等腰三角形，，AD、BE为两直角边BC、AC的中线，以两直角边BC、AC所在的直线分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示，并设，，则，.　∴，，　∴，　又，，　　　　　设AD与BE所成的钝角为角