高数王博+第一讲+函数极限连续

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1、第一讲函数极限与连续【题型一】分段函数的复合函数【例1】设，试求，.【详解】【例2】设则等于()(A)0(B)1(C)(D)【答案】(B)【详解】因为，所以在整个定义域内，所以，于是，从而【例3】设函数，,则______.【答案】应填.【分析】本题主要考查抽象函数的复合，必须分段分层讨论.【详解】由得=因此=.应填.【题型二】函数的基本特性方法：综合应用函数特性的几种判别方法【例4】（99,1，2，3）设是连续函数，是的原函数，则()(A)当是奇函数时，必是偶函数。(B)当是偶函数时，必是奇函数。(C)当是周期函数时，必是周期函数。(D)当是单调增函数时，必是单调增函数。【详解

2、】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，，从而有即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，排除(C)；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除(D).类似题（05，1,2）设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条件是”，则必有()(A)是偶函数是奇函数.(B)是奇函数是偶函数.(C)是周期函数是周期函数.(D)是单调函数是单调函数.【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数的任一原函数可表

3、示为，且当为偶函数时，有，于是，即，亦即，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则，令，则有所以，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令,则取,排除(B)、(C);令，则取,排除(D);【例5】下列结论正确的是（）（A）在上是无界（B）时是无穷大量（C）在上是无界（D）在上是无界【详解】对A，函数在上连续，而，，故在上是有界对，函数在上连续，而，故在上是有界或，而，在有界，所以在有界对，取，此时，所以在上是无界对B，取，此时，即，故选【例6】以下四个命题中正确的是（A）若在内连续，则在内有界；（B）若在内连续，则在内有界；（C）若在内有界，则在内有界；（D）若在内有

4、界，则在内有界。【详解】解法1直接法：由于在内有界，则在内有界，故选(C).解法2排除法：令，则，显然，和都在内连续，但在内无界，则（A）（B）都不正确.令，显然在内有界，但在内无界，则（D）不正确.故应选(C)【例7】（04,3）设在上连续，且，则下列结论中错误的是()(A)至少存在一点，使得.(B)至少存在一点，使得.(C)至少存在一点，使得(D)至少存在一点，使得【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项.方法1：举例说明(D)是错误的.例：，.但在上.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由已知在上连续，且，则由介值定理，至少存在

5、一点，使得，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义，根据极限的保号性，至少存在一点使得，即，所以选项(A)正确.同理，，根据极限的保号性，至少存在一点使得.所以选项(B)正确，故选(D).【练习】设函数连续，且，则存在，使得（）（A）在内单调增加（B）在内单调减少（C）对任意的有（D）对任意的有【例8】设是恒大于0的可导函数，且，则当时有（）（A）（B）（C）（D）【详解】令，则，单调减，由知，即，故应选（A）。【题型三】极限概念、性质及存在准则【例9】（03，1,2）设均为非负数列，且,,,则必有()(A)对任意成立.(B)对任意成立.(C)极限不存在.(D)极限不存在.方法

6、1：（推理法）由题设，假设存在并记为，则,这与矛盾，故假设不成立，不存在．所以选项正确．方法2：（排除法）取，，满足,,而，不正确；取，，满足,,而，不正确；取，，满足,,而，不正确．【例10】（00,3）设对任意的，总有，且，则()(A)存在且一定等于零.(B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在.(D)不一定存在.用排除法.令，，显然，且，此时。则（A）和（C）不正确。若令，，，则，且，但（不存在）。从而（B）不正确，故（D）正确【例11】（08,2）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是()若收敛，则收敛.若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.【答案】直接

7、法：由于单调有界，则当单调时，数列单调有界，从而收敛，故选（B）排除法：令显然在上单调有界，收敛，但不存在，则（A）不正确。令，收敛，且单调，但，则（C）（D）均不正确,故应选（B）【题型四】求函数的极限（未定式）【例12】（00，1）求【分析】由于极限中含有与，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在.【详解】；；左极限与右极限相等，所以【例13】【详解】原式【例14】（97，1）求.【分析】这是型极限.注意两个特殊极限.【详解】将原式的