高数 第一讲 函数及函数的极限

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1、引言一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯笛卡儿目录上页下页返回结束1.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分机动目录上页下页返回结束二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2

2、.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节目录上页下页返回结束华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿(1596～1650)法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的

3、转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,华罗庚(1910～1985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近300篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.第一讲分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数及函数的极限第一讲一、邻域第一节机

4、动目录上页下页返回结束函数二、函数三、复合函数四、初等函数一、邻域(其中为大于0的常数)的一切x，称为点x0的d邻域，记作U(x0,d).满足不等式它的几何意义是：以x0为中心，d为半径的开区间(x0-d,x0+d)，即x0-d

5、x-x0

6、

7、自变量因变量例如,反正弦主值定义域对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束例1.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域机动目录上页下页返回结束2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回

8、结束(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束三、复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①机动目录上页下页返回结束②u称为中间变量.注意:1.构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动目

9、录上页下页返回结束2.两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:3.会正确分解复合函数.分解原则：由外向里,逐层分解.例2是由哪些函数复合而成的.解四、初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.机动目录上页下页返回结束说明:1.本书中所说函数基本是初等函数;2.大多数分段函数不是初等函数,但不绝对.非初等函数举例:符号函数当x>0当

10、x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束第一讲二、函数的极限一、数列的极限第二节机动目录上页下页返回结束极限的概念一、数列的极限引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),用其内接正n边形的面积刘徽目录上页下页返回结束