高数第二单元导数与微分

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1、第二单元导数与微分导数与微分是微积分的核心部分，深刻理解概念，熟练掌握方法，有利于后面学好积分，学好多元函数的导数。[教学基本要求]微积分理解导数的概念；熟悉导数定义的结构及等价形式；理解导数的几何意义、函数的连续性与可导性之间的关系；熟练掌握基本求导公式，运算法则；掌握复合函数求导的链式法则及隐函数、分段函数、抽象函数的求导法.了解高阶导数的概念；了解微分的概念，微分形式的不变性，导数与微分的关系；掌握可微函数的微分方法。了解微分在近似计算中的应用。掌握经济函数与导数有关的内容。高等数学增加理解参数方程所确定函数的导数；了解

2、求高阶导数的规律。[知识要点]1．，等价形式，极限存在时，该极限就是函数在点处的导数。极限存在的充要条件是左极限等于右极限，此时对应的是左导数等于右导数（注意：上一章求函数在点的极限，可以没有定义；现在求点处增量比的极限，必须有定义）。去掉的脚标，得到导函数的定义式，或（注意：对函数而言在所论区间中可以任意取值，但是求极限的过程中，是常量，和是变量）。应记住表示导数、导函数的几种符号形式。2．对照曲线的切线，明了切线的斜率对应导数，描述函数的变化率；图中对应和的两条线段，说明微分是函数增量的线性主部（近似值）。虽然有：可导可微

3、，求导公式与微分公式形式相近，可以在一起记忆，但是要区别求导、微分是两个不同的概念。增量比的极限存在，对应的曲线一定是连续、圆滑的；增量比的极限不存在，（除间断点外）可能是左导数不等于右导数，则曲线在该点不圆滑；也可能是振荡型（切线不唯一的点不可导），或者是无穷大（切线唯一但垂直于X轴的点也不可导）。初等函数在其定义区间内是连续的，连续是可导的必要条件，所以可导函数必然连续；而连续函数不一定点点可导。不连续处必定不可导；反之，不可导不能判定该点的连续性。有一类问题是已知函数，判断其在某点的连续性，可导性。或者已知连续、可导，反

4、过来确定函数中的未知常数。还有一类问题是利用平面解析几何的直线方程，求已知函数的切线。或者已知可导，反过来确定切线中的待定常数。3．熟记基本初等函数的导数（与微分）公式和四则运算法则，它们都是由导数的定义直接或间接推导出来的，所以对可导的函数求导数，可以直接套用公式与法则，求出导函数。若求某一点的导数，应先求导函数，后代入该点坐标。对可导条件不清楚的点，比如分段函数的分段点必须用导数定义求。4．复合函数(包括抽象函数)的导数与微分，必须对复合关系心中有数，避免出现重复求导或遗漏复合层次的错误。隐函数的求导，综合了求导公式、运算

5、法则和复合函数的求导，所求结果可以是隐函数的形式。对数法求导，主要是解决幂指函数的求导，也能用于多因子大乘大除、大开方的函数，，可以简化步骤。5．反函数的求导，参数式求导，高阶导数的求法，学习微积分可以有个基本的了解，比如参数方程的一阶导数，规律简单的高阶导数；学习高等数学应该准确理解，基本掌握求解的方法，比如参数方程的二阶导数，高阶导数的莱布尼兹公式。6．掌握几个基本经济函数的导数，即边际函数。由相对变化率导出的关系叫做弹性，需求对价格的弹性，供给对价格的弹性，收益对价格的弹性。对计算出的边际函数和弹性应会作出准确的解释。[

6、典型例题补充]例1．求和的导数。注意：看清函数形式与结构，应使用哪个公式哪个法则。是自变量，与无关的项的导数为零，初学者容易出错。是幂指函数，必须用对数法求导，也可第一步写为再导。例2．已知，其中在的某邻域内有定义且在处连续，求。若用公式求，，结果。过程中出现，而条件中只有连续，没有可导，此处随意放宽条件的做法是不对的。应该用定义来做：例3．已知，，求分析：原式=，与前面导数定义式比较，分子分母相联系的关键之处：，原式为复合函数在点对的导数。故原式=。也可以做代换，原式==。例4．，求如果对复合函数求导公式理解不准确，可能出现

7、这样的表示，同时列出每一层对的导数：，这是不对的。正确做法。因为表示对求导，每求一层，只是对这层内中间变量求导，然后才出现下一层，直到最后一层对求导完毕。上面的错误也说明对右肩上一撇的求导符号理解不够，只有是等式，若为其他的函数形式，比如与，就不能是等号了，前者表示对自变量求导，后者表示对这个整体求导。例5．设，求；解，运算对否？分析：分解复合层次，，可见上面的运算缺少第二层的求导。如果把函数变形，，只有两层，容易求导，得到结果为：，所以上面运算不对。[课堂练习]一、填空题1．若在处可导，且，则（）。2．若在点可导，则（）。3

8、．若，则（）。4．已知，则（）。5．若需求函数，则当价格时的边际需求为（），此时需求量对价格的弹性（）。一、选择题1．下列函数中，在点处可导的是（）A．B．C．D．2．下列函数中，在点处连续，但是不可导的是（）A．B．C．D．3．设连续,可微,且，，则()A．1B．C．D．4