高数2导数与微分

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1、第二讲：导数与微分导数：对于函数：如果极限存在，则称在处可导，记其极限值为注：有正负！！！如果极限存在，则称在处具有左导数，记为；如果极限存在，则称在处具有右导数，记为。如果函数在一段连续区间D上的每个点都可导，则称在D上可导（对于闭区间端点，只要对应的单侧导数存在即可）由可导的定义可以退出：可导必定连续！！！例：1、讨论函数在其定义域上的可导性2、设则在=0处可导(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在3、设函数,则在内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点4、设，试确定的值，使该

2、函数在处可导5、若存在，则。6、（思考）设函数在上有界且可导,则(A)当时,必有(B)当存在时,必有(C)当时,必有(D)当存在时,必有.小结论：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数；周期函数的导函数依然是周期函数微分：对于函数：如果存在一个只与有关而与无关的数，使得当时，有：则称在处可微，称为在处的微分，记为：定理：（导数与微分的关系）若在处可微，则：，故微分运算也常记为：由该定理可知：可微可导例：设函数具有二阶导数,且,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A)(B)(C)(D)基本求导公式

3、：函数的和、差、积、商的求导法则：设，都可导，则　　（1）　　（2）　（是常数）　　（3）　　（4）　例：求导反函数求导法则　　若函数在某区间内可导、单调且，则它的本义反函数在对应区间内也可导，且　　或　　复合求导公式（链式法则）：设，而且及都可导，则复合函数的导数为或由该定理可以推出定理：一阶微分具有形式不变性　　(1)　　(2)　　　(3)　　(4)　　　(5)　　(6)　　　(7)　　(8)　　　(9)　　(10)　　　(11)　　(12)　，　　(13)　　(14)　　　(15)　　(16)　隐函数的求导与求微分例：参

4、数函数的微分公式：对于参数函数，其中严格单调，若、均可微同时，则该参数函数可微且：例：已知，求：高阶导数与高阶微分若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即，此时称在点二阶可导。如果在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作，，或记作，，。注意区分符号与：，函数的二阶导数一般仍旧是的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数的三阶导数，记为，，或。函数的阶导数的导数称为函数的阶导数，记为，，或。相应地，在的阶导数记为：，，。二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。例：函数在

5、处几阶可导高阶导数的运算1．。2.莱布尼兹公式：其中，。注将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：。（这里），在形式上二者有相似之处。例：求次多项式的各阶导数.…常用的高阶导数：；；；；（4），特别的，当时，有.参数函数高阶导数设，均二阶可导，且，由参数方程所确定的函数的一、二阶导数：，.这里一定要注意，在求由参数方程确定的函数的导数时，是中间变量，而符号表示对求二次导数，因此.反函数高阶导数若函数在某区间内二阶可导、单调且，则它的本义反函数在对应区间内也二阶可导，且例：1、（隐函数高阶导数）已知求.2、设，其中二阶可导

6、，且，则=。3、（参数函数高阶导数）求方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数。4、（反函数高阶导数）设函数在内具有二阶导数,且是的反函数.试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.