全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

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1、学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分）1．已知集合（　　）.(A)(B)(C)(D)2．已知,若为实数，则最小的正整数的值为（　　）.(A)(B)(C)(D)3．已知成等比数列，q:，则是的（　　）.(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件4．函数的单调递增区间是（　　）.(A)(B)(C)(D)5．已知均为正实数，则的最大值为（　　）.(A)2(B)(C)4(D)6．直线与在区间上截曲线所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（　　）.（

2、A）（B）（C）（D）7．有6名同学咨询成绩．老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6人的成绩各不相同．那么他们6人的成绩不同的可能排序共有（　　）.(A)120种(B)216种(C)384种(D)504种8．若点在曲线上,点在曲线上，则的最小值是（　　）.学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社(A)(B)(C)(D)9．已知函数(为常数，)，且，则的值是（　　）.(A)8　　(B)4　　(C)　　(D)10．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，那么当取最小正值时，（　　）.(A)1　(B)10　(C)19　(D)20二、填空题（每小

3、题6分，共24分）11．已知，．记的最大值为，则的表达式为.12．已知，　则.13．设为抛物线上相异两点，则的最小值为___________________．14．已知中，是重心，三内角的对边分别为，且，则=__________．三、解答题（本大题共5题，共66分）15．(12分)不等式对恒成立．求实数的取值范围．16.（12分）已知在正方体中，分别为的中点，且．求四面体的体积．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社17.（12分）在平面直角坐标系中,已知圆与圆相交于点，,点的坐标为,两圆半径的乘积为．若圆和均与直线:及轴相切，求直线的方程．18.（15分）甲

4、乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，求的期望的变化范围．19.（15分）集合若满足：其任意三个元素，均满足，则称具有性质，为方便起见，简记．具有性质的所含元素最多的集合称为最大集．试问具有性质的最大集共有多少个？并给出证明．学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社本文档选自华东师范大学出版社的《高中

5、数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。图书推荐：“奥数”联赛冲刺篇“奥数”IMO终极篇更多免费图书资料，请在百度文库中搜索“学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社学奥数，这里总有一本适合你”。解答1．B.提示：，．所以．2．A.提示：，是使为实数的最小的正整数．3．A.提示：充分性

6、显然成立，必要性不成立．例：.4．A.提示：由对数函数的性质知，，则或．当时，为增函数；当时，为减函数．5．B.解法一令，则所以．解法二令，则，此时，即有．显然当时，；当时，，所以函数在,即时取得最大值．　　　　　　　6．D.提示：函数，的图象只有被及这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零．所以截取函数学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为，即有解得，．进而．　　7．D.解法一以记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集，以记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则，．甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为．按照老师

7、所述，这６位同学成绩可能的排序数为．　　　　　解法二以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．（1）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为；（2）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为．所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为．　　　　　　xyo8．C.提示：两抛物线，关于直线对称．所求的最小值为抛物线上的点到直线距离的最小值的两倍．设为上任意点,　则,,．9．B.提示：由已知可得又令，则有从而有学奥数，这里总有一本适合你！华东师范大学出版社即知　　　　　　　　10．C.提示：设该等差数列的公差为．显然．由，知且因此由　知．