多元函数微积分》习题解答第四章

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1、习题4-11.(1)记一般项为,则=,=,=,=,…故=(2)记一般项为,则=(-1)·,=(-1)·,=(-1)·,…故=(-1)·(3)记一般项为,则=,=,=,=,…故=(4)记一般项为,则=(-1),=(-1),=(-1),…故=(-1)2.(1)(2)(3)(4)3.(1)该级数为几何级数,=,由于,故该级数收敛。(2)该级数的一般项,故由级数收敛的必要条件可知,该级数发散。(3)该级数为几何级数,,由于,故该级数发散。(4)设因为为的几何级数,为=的几何级数,故,均为收敛级数,故原级数收敛。习题4-21.(1)因为,而级数发散,故该级数发散。(2)因为,而发散,故原级数发

2、散。(3)因为,而且收敛,故原级数收敛。(4)因为,而且收敛,故原级数收敛。2.(1),因为,故级数发散。(2)因为,故级数收敛。(3)因为,故级数收敛。(4)因为,故级数收敛。3.(1)因为,故级数收敛。(2)因为,故级数收敛。(3)因为,故级数收敛。(4)因为,故当时,,级数收敛;当时,,级数发散;当时,,无法判断。4.(1),而,故级数收敛(2),而,故级数收敛。(3)因为,而级数发散,故级数发散。(4)因为,故级数收敛。(5)因为,故级数发散。(6),而级数发散,从而发散,故原级数发散。5.(1),显然为一交错级数,且满足,,因而该级数收敛。又是的级数,所以发散,即原级数是条

3、件收敛。(2)对于,故收敛,从而原级数绝对收敛。(3),显然收敛,故原级数绝对收敛。(4),为一交错级数,又,且,故由莱布尼兹定理可知,原级数收敛。但由于,发散,故原级数是条件收敛。(5)因为,故级数发散。6.(1)因为为几何级数,且,其和为。(2)因为而由知,其和为由知,其和为故7.设排球每一次下落后的高度依次为:,反弹的总距离8.由已知可得:L=

4、CD

5、+

6、DE

7、+

8、EF

9、+

10、FG

11、+…=习题4-31.(1)当时,级数收敛,所以该级数的收敛域为(2)当时,级数收敛,当时,级数发散,所以该级数的收敛域为(3)该幂级数只含有奇次幂项,记,则有当时,级数收敛,当时,级数发散,于是收敛半

12、径当时,级数发散,所以该级数的收敛域为(4)该幂级数只含有偶次幂项,记,则有当时,级数收敛,当时,级数发散,于是收敛半径当时,级数发散,所以收敛域为2.(1)设故(2)设(3)设则令故(4)设习题4-41.(1)(2)(3)设(4)(5)设(6)2.注:收敛域:3.(1)(2)4.设则5.由于很小,则习题4-51、解:(1)因为所以的傅氏展开式为。(2)因为(奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零)。所以的傅氏展开式为。(3)因为是奇函数,所以。所以的傅氏展开式为。2、解:(1)因为为偶函数,所以,而,由于在内连续,所以。(2)因为为奇函数,所以3.解:因为为偶函数,所以;令得

13、,且在上连续,4.解:作奇延拓,得,使有计算系数:5.解:作偶延拓:,计算系数:6.解:ⅰ:用正弦级数逼近:作奇延拓,由题知周期为,由系数公式:ⅱ:用余弦级数逼近:作偶延拓,由系数公式:

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