多元函数微积分》习题解答第三章

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1、习题3-11、计算下列第二类曲线积分:(1)L为抛物线上由点(0,0)到点(2,4)的一段弧;(2)L为按逆时针方向饶行的圆;(3)L为螺旋线上由t=0到t=2的有向弧段;(4)L为由点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;(5)其中L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路,取逆时针方向;(6)其中,L按逆时针方向饶行的圆.解(1)化为对x的定积分,L:,x从0到2,所以=(2)圆周的参数方程为:===(3)L的参数方程为:,t从0到2,所以==(4)直线的参数方程为:代入==(5)三条直线段的方程分别为y=0,x从0到1;x=

2、1,y从0到1;y=x,x从1到0.所以==02、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成,试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向走过第一象限的弧段时,场力所作的功.解:由题意知,场力所作的功为L:,x从R变到0,于是,w=3、有一平面力场F,大小等于点(x,y)到原点的距离,方向指向原点.试求单位质量的质点P沿椭圆逆时针方向绕行一周,力F所作的功.解:椭圆的参数方程为:,t从0到2所以,4、有一力场F,其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点,试求单位质量的质点沿直线从点移动到时,该场力所作的功.解:直线的参数方程为:,t从

3、1到2所以,习题3-2答案1、解:记S在x>0一侧为,在x<0一侧为,在z=h上的部分为,在z=0上的部分为,在y>0一侧为,在y<0一侧为,则由题有同理可得:2、解:(1)由题在xoy面上的投影区域,(2)(3)将S分成和,其中:z=h,取上侧,:,x>0取下侧则(4)记S在z=0上的部分为,在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上的部分为,在上的部分为.有3、解:(1)原式=.(2)原式=§3-3格林公式及其应用1.(1),,(2),,(3),(4),而在以为起点为终点的直线上所以原式2.,因为积分与路径无关,所以,得3.(1),是

4、二元函数u(x,y)(的全微分.,得,故(2),是二元函数u(x,y)(的全微分.,得,故(3),是二元函数u(x,y)(的全微分.,得,故(4),是二元函数u(x,y)(的全微分.,得,故4.(1),故为全微分方程。,故通解为(2),故为全微分方程。,故通解为(3),故为全微分方程。,故通解为(4),故不是全微分方程。§3-4高斯公式和斯托克斯公式1(1)原式====(2)原式====(3)原式=====(4)原式===(5)原式====2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域的上侧,(2)取为平面被L所围成的部分的上侧,的面

5、积为的单位法向量为,3.解:其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yoz面上的投影区域为线段,所以,又在xoy面上的投影区域为,所以,习题3—51.解:(1),,(2),,(3),,。1.证明:场力沿路径L所作的功为,要证明场力所作的功与所取的路径无关,只需证明上面的积分与路径无关,显然,半平面x>0是单连通域。在该区域具有一阶连续偏导数,另外,所以上面的积分与路径无关,因而结论正确。3.解:(1)(2)(3)(4)4.证明:(1)所以A为有势场(2)所以A为有势场

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