解析几何专题02直线与圆

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1、解析几何专题02直线与圆学习目标（1）正确理解圆的标准方程与一般方程；能规范地运用“待定系数法”求圆的方程；（2）明确直线与圆的位置关系，并能够熟练地利用几何法判断直线与圆的位置关系；（3）能够根据具体条件选择适当的方法正确求解圆的弦长、切线以及有关最值问题。知识回顾及应用1．圆的方程(1)圆的标准方程(2)圆的一般方程2．直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系的判断(2)直线与圆相交产生的弦长问题的一般处理思路(3)直线与圆相切产生的切线问题的一般处理思路(4)直线与圆相离产生的最值问题的一般处理思路3．应用所学知识解决问题：【题目】在平面直

2、角坐标系xOy中，已知曲线x2＋y2＝4，直线12x－5y＋30＝0，则曲线与直线的位置关系是相离。【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线x2＋y2＝4和直线12x－5y＋c＝0有且只有一个公共点，则实数c的值是________．【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．(－13,13)【变式3】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线上有且只有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．问题探究（请先阅

3、读课本，再完成下面例题）【类型一】求圆的方程以及圆的弦长问题三个独立条件确定一个圆。在求圆的方程时，常采用“待定系数法”：根据条件选择适当的圆的方程形式（与圆心有关的问题常常设“圆的标准方程”；三点圆问题常常设“圆的一般方程”），再根据条件列方程（组）并解之。圆的弦长问题一般都利用“垂径定理”求解：圆的半径、弦长的一半以及圆心到弦的距离满足勾股定理。例1．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．解　(1)设圆

4、的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得6又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由

5、x1－x2

6、＝6有D2－4F＝36，④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得

7、解得因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.练习：(1)在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．则圆C的方程是．(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程是__________________．答案：(1)(2)(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244【类型二】圆的切线问题过圆上一点作圆的切线有且只有一条，常利用“圆心与切点连线垂直于切线”求切线斜率；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，常利用“圆心到切线距离等于半径”求切

8、线斜率。注意：不能漏掉切线斜率不存在的情况！例2．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．解　(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知＝2，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.6故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－

9、4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.练习：已知圆：.（Ⅰ）设圆与轴交于、两个点，求线段的长;(Ⅱ)过点作圆的切线，求切线的方程.（Ⅰ）圆的标准方程为，设为的中点，则,,则在直角三角形中，,则.(Ⅱ)易知点在圆的外部，故所求切线有两条，画图可知，过作圆的切线一条为.设过的圆的另一条切线方程为，根据点到直线距离公式，，解得，整理得切线方程为．【类型三】圆的最值问题圆的最值问题主要有两种处理方式：（1）三角代换：如，根据圆的方程可设；（2）几何转化：转化为“与圆心有关”的问题。例3已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．(1)求y

10、－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．解　圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3.(1)【方法一】y－x