（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.4 二次函数与幂函数 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数文1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα的

2、函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　×　)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角

3、坐标系中的开口大小．(　√　)(4)函数y＝2x是幂函数．(　×　)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)1．若关于x的方程x2＋mx＋＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　∵方程x2＋mx＋＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m2－4××1>0，即m2>1，解得m<－1或m>1.2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是______________．答案　解析　由题意知即得a>.3．函数y＝x的图象是_

4、_______．(填序号)答案　②解析　显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x＞x；当x＞1时，x＜x.故只有②符合．4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案　[1,2]解析　如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．5．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．答案　y＝　(0，＋∞)题型一　求二次函数的解析式例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次

5、函数的解析式．解　方法一　(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二　(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三　(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数的最大值

6、是8，即＝8.解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华　求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，所用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解．　(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是__________________．(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案　(1)f(x)＝x2－2x＋1　(2)－2x2＋4解析　(1)依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0,1)，

7、∴4a－1＝1，∴a＝.∴f(x)＝(x－2)2－1.∴f(x)＝x2－2x＋1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.题型二　二次函数的图象与性质命题点1　二次函数的单调性例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(2)当a＝－1时，求f(

8、x

9、)的单调区间．解