《洛必达法则》word版

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1、第十七讲Ⅰ授课题目：§3.2洛必塔法则Ⅱ教学目的与要求：1.掌握用罗必塔法则求极限；2.明了使用罗必塔法则的条件；3.了解将罗必塔法则与极限运算性质结合使用常能简化运算。Ⅲ教学重点与难点：重点：各种类型的未定式转化为或型的未定式难点：罗必塔法则与极限运算性质的结合使用Ⅳ讲授内容：§3.2洛必塔法则如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那末极限可能存在、也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为或.在第一章第六节中讨论过的极限就是未定式的一个例子．对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这—法则．下面

2、我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法．我们着重讨论时的未定式的情形，关于这情形有以下定理：定理1设(1)当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么.这就是说，当存在时,也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必塔（L’Hospital）法则证明因为求当时的极限与及无关，所以可以假定，于是由条件(1)、(2)知道，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内的一点，那么在以及为端点的区间上，柯西中值定

3、理的条件均满足，因此有（在与之间）．令，并对上式两端求极限，注意到时，再根据条件(3)便得说明:1.如果仍属于型,且和满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则,即;2.当时,该法则仍然成立,有;3.对（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则;4.洛必达法则是充分条件，反之不成立；5.如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.（因为数列不连续，不能求导）例1求下列极限（1）,(型)（2）,(型)解原式==原式==注上式中的已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果．以后

4、使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，就不能应用洛必达法则．（3）,(型)原式===1（4）,(型).原式===1（5）,(型)原式=====注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例2求下列极限（1）原式===（2）原式（3）原式练习：（1）（2）二．型未定式的求法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型和型.1．型未定式的求法步骤：或例3求下列极限（1）原式==（2）原式步骤：例4求下列极限（1）原式=（2）原式步骤：例3求下列极限（1）原式=（2）原式例4求下列极限（

5、1）原式=（2）原式例5求下列极限（1）原式（2）原式例6求解设，则因为==从而原式=练习：1）（2）（3）（4）（5）Ⅴ小结与提问：小结：1.使用罗必塔法则之前应该验明其是否满足罗必塔法则条件。2.罗必塔法则是求未定型极限的有效方法，但不是万能的。提问：求极限时能否使用罗必塔法则？Ⅵ课外作业：1.(6)(7)(9)(12)(16)4.