2014届高考数学一轮复习 第35讲《数列模型及应用》热点针对训练 理

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1、1.(2013·浙江省富阳市质检){an}是等比数列，其中a3，a7是关于x的方程x2－2xsinα－sinα＝0的两根，且(a3＋a7)2＝2a3a7＋6，则锐角α的值为(C)A.B.C.D.解析：由条件知(2sinα)2＝2(－sinα)＋6，即2sin2α＋sinα－3＝0，解得sinα＝，所以α＝，故选C.　2.(改编)在△ABC中，∠B＝，三边长a，b，c成等差数列，且a，，c成等比数列，则b的值是(D)A.B.C.D.解析：由条件知a＋c＝2b，ac＝6，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)

2、2－3ac，代入化简得b2＝6，即b＝，故选D.　3.(2012·大庆铁人期末)已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是(A)A．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列B．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列C．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列D．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列解析：当cn∥bn时，(n＋1)an－nan＋1＝0，则＝，所以数列{}为常数列，设此常

3、数为k，则＝k，即an＝kn，易知数列{an}是等差数列，故选A.　4.(2012·仙桃市五月模拟)已知f(x)＝sin2x，若等差数列{an}的第5项的值为f′()，则a1a2＋a2a9＋a9a8＋a8a1＝(B)A．2B．4C．8D．16解析：因为f′(x)＝2cos2x，所以a5＝f′()＝2cos＝1，所以a1a2＋a2a9＋a9a8＋a8a1＝(a1＋a9)(a8＋a2)＝2a5·2a5＝4，故选B.　5.(改编)五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同

4、学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2014次被报出的数为　8　.解析：设五位同学依次报出的数字构成的数列为{an}，则a1＝2，a2＝3，a3＝6，a4＝8，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝8，……易知此{an}是周期为6的数列，所以a2014＝a6×335＋4＝a4＝8.　6.(2013·江苏泰兴市上期中模拟)王老师从2013年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以

5、取回　　元．3解析：复利问题，本题为等比数列模型．a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋…＋a(1＋r)＝＝.　7.(2013·杭州第一次模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为　－2　.解析：切线的斜率k＝y′

6、x＝1＝(n＋1)xn

7、x＝1＝n＋1，则切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，则xn＝，所以an＝lg＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…(lg99－lg

8、100)＝－lg100＝－2.　8.(改编)对正整数n，设抛物线y2＝2(2n＋1)x，过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An，Bn两点，设an＝n·n，则数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．解析：(1)设直线方程为x＝ty＋2n，代入抛物线方程得y2－2(2n＋1)ty－4n(2n＋1)＝0，设An(xn1，yn1)，B(xn2，yn2)，则n·n＝xn1xn2＋yn1yn2＝(t2＋1)yn1yn2＋2nt(yn1＋yn2)＋4n2，用韦达定理代入得·＝－4n(2n＋1)(t2＋1)＋4n(2n＋1)

9、t2＋4n2＝－4n2－4n，故＝－2n.(2)数列的前n项和Sn＝－2n＋×(－2)＝－n(n＋1)．　9.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为n－1千元时多卖出(n∈N*)件．(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；(2)当a＝10，b＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？解析：(1)设S0表示广告费为0元时的销售量．由题意知Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn－2＝，…，S2－S1＝，

10、S1－S0＝，3将上述各式相加得，Sn＝b＋＋＋…＋＝＝b·(2－)．(2)当a＝10，b＝4000时，设获利为Tn元．由题意知Tn＝10Sn－1000n＝40000·(2－)－1000n.欲使Tn最大，则，代入解得.所以n＝5，此时S5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元