函数的求导法则(1)

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1、第二节函数的求导法则教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则；2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则；3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且。证明：==所以。注1：本定理可推广到有限个可导函数上去。2：本定理的结论也常简记为。定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。证明：====即。注1：若取为常数，则有：；2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：等。定理3：若

2、都在点可导，且，则在点也可导，且。证明：===即注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。【例1】设，求。解：。【例2】设，求。解：。【例3】二、反函数的导数法则定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。证明：所以。注1：，因为在点附近连续，严格单调；2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义；3：和的“′”均表示求导，但意义不同；4：定理1即说：反函数的导数等于

3、直接函数导数的倒数；5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例1】求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：。注1：同理可证：；2：。【例1】求的导数。解：利用指数函数的导数，自己做。三、初等函数的求导公式1、常数和基本初等函数的求导公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）四、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复

4、合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或证明：==所以。注1：若视为任意，并用代替，便得导函数：，或或。2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：等。【例1】求的导数。解：可看成与复合而成，，，。【例2】求（为常数）的导数。解：是，复合而成的。所以。这就验证了前面§2、1的[例4]。由此可见，初等函

5、数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。【例5】，求。解：。【例6】，求。解：。【例7】，求。解：==。【例8】，求。解：。【例9】，即。同理，。【例10】，求。解：。同理：。小结：1、函数的四则运算的求导法则：设，则(i)(ii)(iii)(iv)2、复合函数的求导法则：设的导数为：或或