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1、专题七关于级数敛散性的判别无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助.在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分．除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如和,以及
2、对数函数和三角函数值.无穷级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用无穷级数所取得的成功变得越来越多．级数是一门非常活跃的学科,这方面的研究工作近年来显得十分活跃,全世界出现的文献数量越来越多,各种国际会议文集更是不少.21世纪的级数将发展成什么样子?这是难以预测和估计的问题:猜想今后二三十年里,级数将会紧紧地伴随着计算机数学同时迅速地向前发展.将会
3、扮演各种“解题机”的重要组成部分.另一方面,级数的理论进展将会深深地受益于别的数学分支,猜想代数学的一些分支、拓扑学的一些方法、概率论方法以及非标准分析方法等都会给级数研究提供有效的新工具,同时也会与级数结合起来,创造出对其他学科有用的新方法,级数的发展还会受到各门应用学科的需要而形成种种带有实际色彩的新方向.数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，
4、判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。级数的收敛问题是级数理论的基本问题,是当今“数学分析”的重要内容.判别数值级数的收敛或发散,是无穷级数的重点．人们已经创造了很多判别级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋于零，则考虑其它方法．(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能
5、确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考虑其它方法．(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法或者其他的判别法．这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大．(4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数．问题1：正项级数的判敛法常见的包括哪些？答：正项级数的三种常见的判别法：-12-无穷级数包括
6、数项级数和函数项级数,而正项级数又是常数项级数的一种.关于正项级数敛散性的判断,各类教材通常讲的方法大体一致,不外乎是比较判别法及其推论,达朗贝尔判别法和柯西判别法.定理1(比较判别法)两个正项级数和,且,则⑴若级数收敛,则级数也收敛;⑵若级数发散,则级数也发散.推论1.1(比较判别法的极限形式)设和都是正项级数,若,则级数和的敛散性相同.定理2(达朗贝尔判别法)设为正项级数,且存在某正整数及常数若对一切,成立不等式,则级数收敛.若对一切,成立不等式,则级数发散.推论2.1(达朗贝尔判别法的极限形式)若为正项级数,且,则当时,级数收敛;当时,级
7、数发散.定理3(柯西判别法)设为正项级数,且存在某正数及常数,若对一切,成立不等式则级数收敛;若对一切,成立不等式,则级数发散.推论3.1(柯西判别法的极限形式)设为正项级数,且则当-12-时,级数收敛;当时,级数发散.问题2：在何种情况下使用比较判别法比较方便？使用时需要注意些什么？请举例说明？答：从比较判别法的内容中我们可以得出以下几点启示:①比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;②比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.③要
8、证明某一个级数收敛,需要找一个通项比大的收敛的正项级数,即,也就是需要将所求的级数通项放大;④要证明某一个级数发散,需要找一个通项比小的发散的正项级数
