级数敛散性的判别

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1、陕西理工学院毕业论文   题目级数敛散性的判别学生姓名学号所在学院数学与计算机科学学院专业班级数教1101班指导教师完成地点陕西理工学院2015年06月08日陕西理工学院毕业论文级数敛散性的判别(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班，陕西汉中)指导老师：[摘要]敛散性是级数的一个最重要的性质，本文主要对数项级数和函数项级数的一致收敛性的各种判别法进行总结归纳和应用，如柯西判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法，莱布尼茨判别法、达朗贝尔判别法、魏尔斯特拉斯判别法等等，它也为数学分析的后续学习奠定重要基础.[关键词]级数；正项级数；敛散性；一致收敛1.引言历史上级数出现

2、的很早.亚里士多德(公元前4世纪)就知道公比小于1大于0的几何级数具有和数，N.奥尔斯姆(14世纪)就通过见于现代教科书中的方法证明了调和级数发散到+∞.但是结合着几何量明确到一般级数的和这个概念，进一步脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念，以及更进一步把级数运算视为一种独立的算术运算并正式使用收敛和发散两词，却是已接近于微积分发明的年代了.事实上，从古希腊以来，积分的朴素思想用于求积问题时，就一直在数量计算上以级数的形式出现.级数收敛概念的逐渐明确有力地帮助了微积分基本概念的形成.级数相关定理应用十分广泛，近10年来，我国关于级数敛散性等问题的研究比较细致和深入，虽然级数敛散性的判别方法已

3、有很多，但是对于有些级数的敛散性判别还是没有具体的方法可循，这需要人们对级数敛散性的判别做进一步研究.2.级数及其敛散性概念级数包括常数项级数和函数项级数.研究级数时，我们要把数项级数与函数级数全面考虑在内，这样才能整体性地掌握级数.2.1常数项级数2.1.1常数项级数的定义定义1[1]给定一个数列{}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式(1)称为数项级数或无穷级数(也常简称级数)，其中称为数项级数(1)的通项.数项级数(1)也常写作：或简单写作.数项级数(1)的前项之和，记为，称它为数项级数(1)的第第10页共10页陕西理工学院毕业论文个部分和，也简称部分和.2.1.2数项级数敛散性

4、的定义定义2[2]若数项级数(1)的部分和数列收敛于(即)，则称数项级数(1)收敛，称为数项级数(1)的和，记作或.若是发散数列，则称数项级数(1)发散.2.2函数项级数2.2.1函数项级数的定义定义3[3]设是一列定义在同一数集上的函数，称为定义在上的函数列.定义4[4]设是定义在数集上的一个函数列，表达式称为定义在上的函数项级数，简记为或.称为函数项级数的部分和函数列.2.2.2函数项级数一致收敛的定义定义5[4]设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛.3常数项级数敛散性的一些判别方法级数的一些基本性质可以帮助我们判断级

5、数的敛散性，但是在实际问题中，仅仅利用级数的基本性质判断级数的敛散性是远远不够的，往往有一定的困难性.因此，除了运用级数的基本性质判断级数的敛散性外，还有一些级数敛散性的判别方法，如比较判别法、比值判别法、根式判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法、魏尔斯特拉斯判别法、莱布尼茨判别法等.3.1正项级数敛散性的判别法若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.对于同号级数，只须研究各项都是由正整数组成的级数，称为正项级数.如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的收敛性.3.1.1比较判别法定理1[4](比较判别法)设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，

6、则(i)若级数收敛，则级数也收敛；第10页共10页陕西理工学院毕业论文(ii)若级数发散，则级数也发散.推论(比较判别法的极限形式)设,是两个正项级数，若，则(i)当时，级数、同时收敛或同时发散；(ii)当且级数收敛时，级数也收敛；(iii)当且级数发散时，级数也发散.用比较判别法时，需要找出一个作比较用的比较级数.常用作比较的级数有级数(时收敛，时发散),等比级数(时收敛，时发散).例1判别下列级数的敛散性:(1);(2).解(1)注意到收敛，将所给级数与之比较，事实上，,由收敛及收敛级数之性质知也收敛.由比较判别法知收敛.（2)注意到级数收敛()，试用此级数作比较级数判别之，事实上，由比

7、较判别法的极限形式知原级数收敛.3.1.2比值判别法(达朗贝尔判别法)定理2[5]若为正项级数，且，则(i)当时，级数收敛；(ii)当或时，级数发散.该判别法的特点是利用级数本身后项与前项之比的极限判别其收敛性，不需另找比较级数.当正项级数的一般项中含有，，或(为常数)等因子时，用比值判别法比较简单.这是因为在中能使阶乘符号消失，对于能使次幂消失，对于，第10页共10页陕西理工学院毕业论文往往能利用两个重要的