微分方程习题解答

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1、第七章各节习题答案习题7-11.(1)一阶(2)一阶(3)二阶(4)一阶(5)二阶(6)二阶2.用隐函数求导法求出，带入方程验证.因为中没有任意常数，故是特解.3.,因为中有任意常数，故是通解.4.通解5.不是解，代入可知，不满足方程.6.特解7.方法同2题，特解8.9.设物体的温度,则（10.设该质点的运动规律为，，由已知得，所以即亦即习题7-21.(1)(2)(3)(4)(5)2.(1)(2)原方程化为，可求得通解．(3)原方程化为，这是一个关于的一阶线性非齐次微分方程，可以求得通解.(4)(5)原方程化为，方法同题（3），可求得通解.(6)原方程化为，方法同题（3），可求得通解.3

2、.(1)(2)(3)(4)(5)6习题7-31.设曲线方程为，曲线上任意点处切线的方程为，令，得点的横坐标为，由得方程，解得.2.曲线上任取点，点处切线的方程为，令，得切线在轴上的截距为，由所给条件得方程，解此方程求得曲线方程为.3.设速度，物体所受外力（沿运动方向）有两个，一个是重力沿斜面方向的分力，另一个是与运动方向相反的摩擦力，即外力（为重力垂直于斜面的分力即），故，由得方程.时，物体的初速度为.求初值问题：得.4.设时刻输入的空气中CO2的含量为，车间的容积为30×30×6，每分钟输入的空气量为，由所给条件解初值问题得，将代入，求得250m3/min.5.设时刻船速，船受到的阻力

3、为，由得（-号表示阻力与船速方向相反），解初值问题得，将代入，求得.6.设时刻物体温度为，已知物体冷却速率与物体和介质的温差成正比，即，由所给条件解初值问题得，10min后物体温度降到60℃，代入特解可求得，设时，代入解得min.7.设时刻电流为，由基尔霍夫第二定律可知,得通解,将初始条件时，代入，求得特解.6习题7-41.逐次积分原方程求出.2.逐次积分原方程求出.3.令，则，原方程化为，可求得，从而求得.4.解法同3，.5.令，则，原方程化为，可求得，从而求得6.解法同5，.习题7-51.不能，因为与可合并；是通解，因为这里的与不可合并.2.求出与，代入方程即可.3.通解为，特解为.

4、4.因为，，是所给方程的三个特解，所以，是对应的齐次方程的两个线性无关的特解，故原方程的通解为.5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)6.(1)(2)(3)(4)(5)7.8.9.自由项可以看成与之和，分别求方程与的特解，再求原方程对应的齐次方程的通解，得所求为10.611.12.(1)先求质点的运动方程设质点的运动方程为，则加速度，由已知得，解初值问题求得(2)再求的最大值，令，得时，.13.设潜水艇的下沉深度为,下沉速度为，潜水艇所受外力有阻力（与下沉方向相反）及重力，由得，解初值问题得.14.设时间由到时浮筒下沉米，其浮力为，为水的比重，为筒的直径，浮力与运动方向相反，利用得，，

5、解初值问题得将时代入特解,有即，故.15.设开始时链条离钉子12m处的一端为原点，轴向下为正，经过时间链条下滑了m.运动过程中的外力为（为链条的密度即单位长度上的质量），由得方程，即解初值问题得特解为将时，代入特解，可求得s.综合测试题七1.(1)不是，因为与不是线性无关.(2)是，因为代入方程满足，且含有一个任意常数.(3),.(4)6(5)的特解为(6)2.(1)B(2)C(3)D(4)C(5)A(6)D3.(1)×(2)×(3)×(4)√4.(1)(2)(3)(4)(5)5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)原方程化为，令，则，将、代入方程，可求得.6.(1)(2)(3)7.(1

6、)(2)(3)8.(1)解初值问题特解(2)解初值问题方程化为令，上式为，两边积分得由得再解出,6即，，令，则，，所以，解得由，得，所以路程与的关系为.6