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《常微分方程习题解答43》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题4.3求解下列方程（1—6）訊这里宀牛以下同丿解：令尢丄y,方程化为¥ax2y/•y2=/+q±3J"'+c、i)‘+c、2即方程通解为9(x+c2)2=4(Z4-q)32.xx"_(y)2+(兀，)3=0解：令x'y,则0=原方程化为dx兀)手_)"+y3=odx即y(x—-+y2)=0dx由y=0得—=0,x=cdt由x^-y+y2=0dx得座护也即cl(-)=dxy•XX••—=x+Cpy=Ax+C]•dxx•■——dtx+c[由此解得x+c.InIx1=r+c2因此原方程的通解为x+c.Inx=t+c2还有解x=c2.0+丄X)2=01-x解
2、：令y=y,则xff=y^~dx原方程化为y冬+丄屮=0dx1-x即)浮+*-刃=0dx1-X由y=0得—=Q,x=cdt+-^―y=0,解得y=Cj(x-l)21-x=C
3、(X_1)-,解得（X-1）（CJ+c、2）二1・••原方程的通解为（兀-1）（叩+6«2）=1（X二C包含在通解屮）3.*+J1_X）2=0解：令宀八则0=方程化为y，+Jl_y2=0其通解为arcsiny=-t+q,y=sin(q-t)/•x!=sin(Cj-/)X=COS(C]-Z)+C2=COS(/+C])+C?24.ax"+[l+X)2]%=()(常数心0)解：令H=y,兀"=
4、y—,方程化为dxdv-心丄+(1+)/)2=0,dxydy(1+b)%=——dx1_1(1+0%蔦Xy=±Jq2_(兀_C])2X-Cj即牛=±丄初一(一Jatx-cx解得t+C2=+—•2&2_(%_C])2即(r+c2)2+(x—C])2=a22.--xf+(xr)2=0t解：方程两端同除以八得巴-】+eoXt两边积分得InIxrI-InI/1+x=Inc,•Ix'ex=ct9艮卩exdx=ctdt,ex=Cj/2+c2用幕级数解法求解下列方程(7〜9)3.0+壮'+兀=0,兀(0)=0,兀'(0)=1解：设x=a{)+axt+a2t2+-•4-ant
5、n+-•①利用%(0)=0,/(0)=1。()=1,。1=1，・•X=f+Cl^t+6Z3厂+•••+Clnt+•••x'=1+2aJ+3牛厂+•••+netfttn4-•••x"=2a~)+3•2^3(+…十/i(t?—l)d“广~+…txf=t+"+…++…将5,尢代入原方程，合并t的同次幕的系数，并令各项系数等于0,得2a2=0,3•2a3+2=0,4•3a4+3a2=0n{n-Y)an+(n—1)仏=0>由此，勺=二0卫3=_二卫4=0，…，31①==一一％2,…n(-1严1・3・5……(2—1)将a^i=1,2,---)的值代回①，得原方程满足初始
6、条件的解为X=t11—31・3・5l・3・5・・・，(2k—1)2.x"-Zx=0,x(0)=l,x,(0)=0:X=6Zq+d]/+d-)/2++•…(J)利用x(0)=1,疋(0)=1得d()=I,©二0X=1+GJ*"+①/'+…+"+…xf=2ci乙+3。.詁$+•••+nciHtl1+•••x1=2a-,+3•2a3t+•••+n(n-)antn~2+…tX=tCl2^+°3广+•••++•…代入原方程，合并f的各同次幕的系数，并令其等于0,得2a2=0,3•2冬—1=0,4•3a4=05*4^5-a2=0,・.・,nO?_l)a”-an_3=(
7、),•••由此，a2=(J,©2・3a25^4d-3n(n一1)艮卩a3k-l=°，03一2=0,。3仪=—-—-―-—-—石2・3・5・6—(3£—1)・3比将勺(心0,1,2…)的值代回①，得方程满足初始条件的解为t3t6严兀=112・32・3・5・62・3・5・6…(3R—l)3k9・兀"-饥'-兀=0角军：设兀=Q()+Q]/+厂色】广+…(X)贝lja/=%+2a2^+3如厂+…•+ncintn1+•••Xn—2d2+3•2°3(+…十—l)d“广*"+•••tx'=a}t+2a2t2+3。3厂'+•••+nantn+…将03代入方程，合并/的各同
8、次幕的系数，并令其等于0,得2a2一⑷)=0,3•2均一2d]=0,4•3一一3勺=0,…4・3。4一3。2=0,・・・,川(〃一1)0”-(n-l)an_2=(),•••令°0=C],d]=C2,则。2=_^L__2_
9、ci
10、22宀-3-34G=4・2‘…“广5-2=，…n将％（心0,1,2…）代回①，得原方程的通解为『24.2k『3.5.2*-1兀=G(1+一++…+1——+…)+C2a+——t+~~+・・・+lt——+…)22・42・4・6，・公八33・53・5・7•…(2R—1)10•求解贝塞尔方程T疋+口+(/2-l)X=04解：这是n=-的贝塞耳
11、方程，因而通解为兀=C/（r）+CJ］⑴22_2G，
