常微分方程基本概念习题及解答

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1、§1.2常微分方程基本概念习题及解答1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx两边积分有：ln

2、y

3、=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=cex,x=0y=1时c=1特解为y=e.2.ydx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：ydx=-(x+1)dydy=-dx两边积分:-=-ln

4、x+1

5、+ln

6、c

7、y=另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=3．=解：原方程为：=dy=dx两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原

8、方程为：dy=-dx两边积分：ln

9、xy

10、+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-令=u则=u+x代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即ln(y+x)=c-2arctg.6.x-y+=0解：原方程为：=+-则令=u=u+xdu=sgnxdxarcsin=sgnxln

11、x

12、+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：=两边积分：ln

13、siny

14、=-ln

15、cosx

16、-ln

17、c

18、siny==另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8+=0解：原方程为：=e2e

19、-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：=ln令=u,则=u+xu+x=ulnuln(lnu-1)=-ln

20、cx

21、1+ln=cy.10.=e解：原方程为：=eee=ce11=(x+y)解：令x+y=u,则=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.=解：令x+y=u,则=-1-1=u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.=解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y-y)-dx+x=cxy-y+y-x-x=c14:=解：原方程为

22、：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0y+4y+x+10x-2xy=c.15:=(x+1)+(4y+1)+8xy解：原方程为：=（x+4y）+3令x+4y=u则=--=u+3=4u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+xy)dx=xdy2）=证明：令xy=u,则x+y=则=-，有：=f(u)+1du=dx所以原方程可化为变量分离方程。1）令xy=u则=-(1)原方程可化为：=

23、[1+（xy）](2)将1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：x=x-y=y-xy’则x=2x=x-所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=。解：由题意得：y’=dy=dxln

24、y

25、=ln

26、xc

27、y=cx.=则y=tgx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx+c即为所求。