b利用导数研究函数的单调性

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1、1、（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（　　）A、B、C、D、显示解析试题篮考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．专题：计算题．分析：先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=-1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．解答：解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y'=f'（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（

2、b+2a）x+b+c]，由x=-1为函数f（x）ex的一个极值点可得，-1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=-b2a，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-b2a＞0⇒b＞0⇒f（-1）＜0不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-b2a＜-1⇒b＞2a⇒f（-1）＜0于原图

3、中f（-1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立故选D．点评：本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．2、（2011•安徽）函数f（x）=axn（1-x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（　　）A、1B、2C、3D、4显示解析试题篮考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；数形结合．分析：先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0

4、.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．当n=1时，f（x）=ax（1-x）2=a（x3-2x2+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=13，x=1，即函数在x=13处有最值，故A对；当n=2时，f（x）=ax2（1-x）2=a（x4-2x3+x2），有f'（x）=a（4x3-6x2+2x）=2ax（2x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=0，x=12，x=1，即函数在x=12处有最值，故B错；当n=3时，f（

5、x）=ax3（1-x）2，有f'（x）=ax2（x-1）（5x-3），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=35，即函数在x=35处有最值，故C错．当n=4时，f（x）=ax4（1-x）2，有f'（x）=2x3（3x-2）（x-1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=23，即函数在x=23处有最值，故D错故选A．点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量

6、的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．3、（2011•安徽）函数f（x）=axm（1-x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（　　）A、m=1，n=1B、m=1，n=2C、m=2，n=1D、m=3，n=1显示解析试题篮考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；图表型．分析：由图得，原函数的极大值点小于0.5．把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案．解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点小于0.5．当m=1，n=1时，f（x）=ax（1-x）=-a(x

7、-12)2+a4．在x=12处有最值，故A错；当m=1，n=2时，f（x）=axm（1-x）n=ax（1-x）2=a（x3-2x2+x），所以f'（x）=a（3x-1）（x-1），令f'（x）=0⇒x=13，x=1，即函数在x=13处有最值，故B对；当m=2，n=1时，f（x）=axm（1-x）n=ax2（1-x）=a（x2-x3），有f'（x）=a（2x-3x2）=ax（2-3x），令f'（x）=0⇒x=0，x=23，即函数在x=23处有最值，故C错；当m=3，n=1时，f（x）=axm（1-x）n=ax3（1-x）=a（x3-x4），有f'（x）=

8、ax2（3-4x），令f'（x）=0，⇒x=0，x=34，即函数在x=34处有最值，故D错．故