导数与微分(一)导数的概念

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1、DDY整理例1求曲线在曲线上的点处切线的斜率。                                   图 4-1 在曲线上点的附近另取一点，连接和得割线，当沿曲线趋于时,割线的极限位置称为曲线在点的切线。令，，则的斜率为，如果存在，则此极限值就是曲线的切线的斜率。DDY整理设切线的倾角为，则从另一角度，表示在区间（或）的平均变化率，极限称为函数在的变化率。例2求变速直线运动的物体的瞬时速度。物体产生的位移是时间的函数，设运动方程为，求在时刻的速度。定义设函数在点的邻域内有定义，当自变量从变到时，则函数得相应的增量，如果极限存

2、在，则称函数在点可导，并称此极限为函数在点的导数。记作，或，，，即 DDY整理如果记，则上式可写为或记 则 如果上述极限不存在，则称函数在点不可导。例3设在处可导（1）（2）则？解（1）                （2）   DDY整理   例4设 且 则  解        例5证明：在  处不可导。解   在处不可导。  注意：函数在（0，0）  处的切线存在，斜率为，所以函数在处有 或时 DDY整理，有时   也称 在处导数无穷大。图 4-2左、右导数左导数 右导数 显然有，在处可导的充要条件是：在的左、右导数都存在且相等。例6

3、讨论函数在处的可导性。解  在可导且DDY整理如果函数在区间内每一点都可导（闭区间时，左端点须右可导，右端点须左可导），则称函数在区间内可导，此时其导数值是随而变的函数，称为的导函数，简称导数，记作而是的导函数在处的函数值。用定义求函数的导数（函数），可分三步进行：（1）求增量（2）求比值（3）求极限例7求（为正整数）解 （应用二项式定理）      DDY整理，所以一般地有   为任意实数。例8求的导数。解     所以利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数，列于书中 141 页公式表中，请大家背下来。如：,,,,,DDY

4、整理,,,,,,,.例9设，求解 定理如果函数在点可导，则函数在点连续。因为在点可导，即，（增量公式）DDY整理即所以时，。在处连续。注：定理的逆不一定成立。既函数在点连续，却不一定可导。例10函数，在点连续，但不可导。 所以在连续。                       图4-3在处不可导。例11讨论函数DDY整理在处的连续性与可导性。解  在处连续。在处可导，且。例12设问当为何值时，在连续且可导。解在处连续，则，在处可导，则DDY整理在点的导数是曲线在点处切线的斜率。所以在处的切线方程为 法线方程为例13求在(-1，1)处的切

5、线方程和法线方程。解，切线方程为法线方程为例14设曲线上的点处的切线平行于直线，求点的坐标。DDY整理解因为曲线在点的切线平行于，解出所以点的坐标为。