高等数学-导数与微分公式概念

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1、导数与微分๑▪导数：f'(x0)=lim∆x→0ΔyΔx=lim∆x→0fx0+Δx-f(x0)Δx=limx→x0fx-f(x0)x-x0▪f(x)在点x0处可导的充要条件是f(x)在点x0处的左导数f'-(x0)和右导数f'+(x0)都存在并且相等.▪若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'-(x0)和f'+(x0)都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导.▪曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).曲线y

2、=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为：y-f(x0)=-1f'(x0)(x-x0).▪求导法则：设u=u(x),v=v(x)可导，则[u±v]'=u'±v'[Cu]'=Cu'(C为常数)(uv)'=u'v+uv'[uv]'=u'v-uv'v2(v≠0)反函数的导数=其直接函数导数的倒数.▪1.C'=0（C为常数）2.(xμ)'=μxμ-13.(sinx)'=cosx4.(cosx)'=-sinx5.(tanx)'=sec2x6.(cotx)'=-csc2x7.(secx)'=secxtanx8.(cscx)'=-cscxcotx9.(ax)'=ax

3、lna(a>0,a≠1)10.(ex)'=ex11.(logax)'=1xlna(a>0,a≠1)12.(lnx)'=1x13.(arcsinx)'=11-x2(x<1)14.(arccosx)'=-11-x2(x<1)15.(arctanx)'=11+x216.(arccotx)'=-11+x217.(1x)'=-1x218.(x)'=12x▪链锁规则：设y=f(u),u=φ(x)都在相应的区间内可导，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为dydx=dydu∙dudx或y'(x)=f'(u)∙φ'(x)▪高阶导数：设y=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+

4、an则y(n)=a0n!,y(n+1)=0.(ax)(n)=axlnna(ex)(n)=ex(ex)(2n)=e2x∙2n[ln(1+x)](n)=(-1)n-1n-1!(1+x)n(sinx)(n)=sin(x+nπ2)(cosx)(n)=cos(x+nπ2)▪隐函数求导：用复合函数求导法直接对方程F(x,y)=0两边求导.▪对数求导法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数求导方法求出导数.▪参数方程求导：参数方程x=φ(t)y=ψ(t),dydx=dydtdxdt,d2ydx2=(dydx)'dxdt▪微分▪可微：∆y=fx0+∆x-f(x0)=A∆x+o(

5、∆x),dyx=x0=A∆x▪可导⟺可微⇀↚连续⇀↚有极限微分形式不变性：无论u是自变量还是另一个变数的可微函数，则dy=f'(u)du.▪近似公式：1)n1+x≈1+xn2)sinx≈x3)tanx≈x4)ex≈1+x5)ln(1+x)≈x▪设函数y=f(x)为可导函数，称导数f'(x)为f(x)的边际函数.f'(x)在点x0处的值f'(x0)为边际函数值.即：当x=x0时，x改变一个单位，y改变f'(x0)个单位.▪弹性函数：EyEx=f'(x)xf(x).商品在P0处的需求弹性：ηP=P0=η(P0)=-f'(P0)P0f(P0).商品在P0处的供给弹性

6、：εP=P0=ε(P0)=-φ'(P0)P0φ(P0).