高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限

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1、第一部分函数、极限、连续一、函数Ø内容要点一、函数的概念1．函数的定义2．分段函数3．反函数4．隐函数二、复合函数与初等函数三、高等数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1)(2)2．用变上、下限积分表示的函数(1)其中连续，则(2)其中可导，连续，则四、函数的几种性质1．有界性：2．奇偶性：3．单调性：4．周期性：Ø典型例题一、定义域与值域二、求复合函数有关表达式例1设，求解：，12若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2已知，且，求解：令，，因此，，∴三、有关四种性质例1设，则下列结论正确的是

2、[]（A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2求解是奇函数，是奇函数，因此是奇函数于是12例3设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是[]（A）（B）（C）（D）四、函数方程例1．设在上可导，，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。例2设满足，求解：令，则，，，……，各式相加，得，∴12因此，于是或（k为整数）二、极限Ø内容要点一、极限的概念与基本性质二、无穷小常见的等价无穷小，当时，，，，

3、，，，。三、求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在准则2：夹逼定理3．两个重要公式公式1：公式2：；；4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换5．用泰勒公式当时，126．洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中，，皆存在（3）（或）则（或）法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，，皆存在（3）（或）则（或）7．利用导数定义求极限基本公式：[如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式[如果存在]9．变量替换10．其它综合方法11．求极限的反问题有关

4、方法Ø典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限12二、用两个重要公式例1求解：当，原式=1当时，原式=…三、用夹逼定理求极限例1求解：令，，则，于是由夹逼定理可知：，于是原极限为0例2求解：而12由夹逼定理可知u例3．求。(2003)四、用定积分定义求数列的极限例1．求分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解：例2.求解：而12由夹逼定理可知，五、用洛必达法则求极限1．型和型例1．求解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反

5、而增加）为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令于是（型）u例2．(2003)u例3．计算：。（2004）u例4．计算：。（2005）2．型和型12例1求例2设，常数。求3．“”型，“”型和“”型例1求例2设，常数，求六、求分段函数的极限七、用导数定义求极限例1设曲线与在原点相切，求解：由题设可知，于是八、递推数列的极限例1设，，证明存在，并求其值。九、变量替换十、求极限的反问题例1设，求和解：由题设可知，，再由洛必达法则得12例2设在内可导，，，且满足，求。解：因此，，，，由，可知则十一、用等价

6、无穷小量例1已知，求a,b的值。例2u例3.求极限。(2002)三、连续Ø内容要点一、函数连续的概念二、函数的间断点及其分类三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质Ø典型例题一、讨论函数的连续性例1讨论函数12在点处的连续性。二、间断点问题三、用介值定理讨论方程的根例1证明五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。例2设在上连续，且。求证：在上至少存在一点使（正整数）证：令，则于是（ⅰ）如果有为0，则已经证明∵，成立。（ⅱ）如果全不为0，则不可能同号，否则相加后不为0，矛盾。所以其中一定有异号，不

7、妨假设，与异号。根据介值定理推论存在使12则，使成立。例1证明：若对任意实数，有，且在处连续，则在区间上连续。12