高等数学第一章函数极限连续.doc

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1、第一章函数、极限与连续预备知识集合与符号一、集合1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；组成集合的这些对象被称为集合的元素．2．表示：用大写字母、、…表示集合；用小写字母、、…表示集合的元素．是集合的元素，记为(读作：属于);不是集合的元素，记为(读作：不属于)．不含任何元素的集合称为空集合，记作3．集合间的关系（1）子集合：如果集合的任何元素都是集合的元素，那末我们就说是的子集合，简称为子集，记为读作包含于）,或者（读作包含）．（2）相等：如果集合的任何元素都是集合的元素，并且集合的任何元素也都是集合的元素（即并且），那末我们说集合与集合相

2、等，记为．我们约定：空集合是任何集合的子集，即．二、数集1．N——自然数集;Z——整数集；Q——有理数集;R——实数集;C——复数集．把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z，Q和R,显然有NZQRC．和NZQR．2．区间——数轴上的一段所有点组成的集合符号名称定义有限区间开区间闭区间半开区间半开区间无限区间开区间闭区间开区间闭区间3．邻域设R，数集称为的邻域，记为==,称为邻域的中心；称为邻域的半径。当不需要注明邻域的半径时，常把它表为，简称的邻域．数集表示在的邻域中去掉的集合，称为的去心邻域，记作==-，当不需要注明邻域半径时，常将它表

3、为，简称的去心邻域．三、逻辑符号1．符号“”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．——若命题成立，则命题成立;或命题蕴涵命题;称是充分条件，同时也称是的必要条件；例如：是整数是有理数符号“”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．表示命题与命题等价;或命题蕴涵命题（），同时命题也蕴涵命题（）例如：任意，有．2.量词符号符号“”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母倒过来．符号“”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母反过来．应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集有上界、有下界和有界的定义：数集有上界R，，有

4、．数集有下界R，，有．数集有界，，有．既有上界，又有下界。3．max与min符号“max”表示“最大”（它是maximum(最大)的缩写）．符号“min”表示“最小”（它是minimum(最小)的缩写）．设是个数．例如：max{}——个数中最大数．min{}——个数中最小数．4．！符号“！”表示“不超过的所有自然数的连乘积”，读作“的阶乘”即！=（-1）…3·2·1．如7！=7·6·5·4·3·2·1．5．连加符号Σ与连乘符号Π在数学中，常遇到一连串的数相加或一连串的数相乘，例如1+2+…+或者等．为简便起见，人们引入连加符号Σ与连乘符号Π：　，．

5、这里的指标仅仅用以表示求和或求乘积的范围，把换成别的符号，等，也同样表示同一和或同一乘积，例如　　，．人们通常把这样的指标称为“哑指标”．我们举几个例子说明连加符号Σ与连乘符号Π的应用．例1阶乘!的定义可以写成！=．例2二项式定理可以表示为，其中．第一节函数的概念，几种简单性态教学目的：理解函数的概念，掌握函数的性质教学重点：函数的概念，函数的各种性质教学难点：函数的性质教学内容：1.函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，

6、叫做因变量。的取值范围叫函数的值域。函数的两大要素：定义域和对应关系例1求函数的定义域。解：要使函数有意义，应满足即：函数定义域为：例2判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx(2)ω=与y=解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.2.函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个

7、上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的。而函数在区间内都是严格单调增加

8、的。（3）奇偶性若函数的定义域关于原点对称，对于任一满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。注意：1）讨论函数奇偶性的前提是该