《微分算子法》word版

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1、高阶常微分方程的微分算子法ctf撰写摘自《大学数学解题法诠释》.徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。1.求方程的通解.解记，将方程写成或我们熟知，其实首先要解特征方程得故知方程有三特解，由于此三特解为线性无关，故立得通解注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是其中系数是某区间上的连续函数，上述

2、方程又可写成可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。2.求解解写成从特征方程解得共三实根，故可立即写成特解3.求解解写成或特征方程有根，故对应的特解是，，从而通解是4.求之通解.解写成或特征根是，对应的特解应是，故写成通解5.求的通解解本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程的通解，写成，可知特征根为，相应的通解为设原方程有特解形为其中为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组或(方程组右端为原方程非齐次项)，解得，或，最后得通解为注对常系数方程，在应用上，不常

3、运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。6.求解下列方程(1)(2)解(1)(2)7.求解下列cauchy问题(1)(2)解(1)(2)8.求解非齐次方程解本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解令考虑方程组最后解得，故原方程的通解为注我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右

4、端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解解写成故对应齐次方程的通解为今用下法求原方程的一个特解，显然满足今用下法求出通解为注本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算同时当作数与运算来处理，上法中视为的逆运算，经分层部分分式后，又将作为数，将展开或读作除数，最后，又将恢复其运算功能。至此，积分微分方程问题已变为求导问题。上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪5

5、0年代初才完成。10.给定一个微分算子则对任一有次导数的函数，得到唯一的函数今定义逆运算恰为微分方程的一个特解。证明下列事实：(1)给定后，不唯一(2)对任一常数及连续函数，有下式成立(3)设有另一微分算子，则(4)有下式成立证明(1)设是方程的特解，则有故(2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出11.给定如上题，证明下列性质：(1)设，此处为多项式(与对应)，则当时(2)特别(3)当为偶次多项式，，则，其中对也有类似公式特别，对一般的，当时，证明(1)因，故有于是(2)今令则，代入上式得或一般公式可由此逐步推出(3)因，故从而当为偶

6、多项式时，故一般公式由上式逐步推出注(1)还有另一性质，我们述而不论：如不懂，可参看我在豆丁上上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》(2)当时，此时宜用Euler公式(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。12.求下面方程的特解解13.求方程的一个特解解设，则，即可知故最后可得也可以直接安照文登考研书的解法即14.解解得通解为15.求下面方程特解解16.求解显然其中今有最后得17.求的特解解18.求下面方程的特解解19.求下面方程的特解解20.求的特解解因，上法无效

7、，今取(*)则特解表示复数虚部，今故21.求下面方程的特解解今有(表示复数的实部)故可写成而红色部分是怎么来的，可以参看我在豆丁网上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》故22.求解方程解设，则故知最后得通解注这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。