高中数学 2.3数学归纳法学案 苏教版选修2-2

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1、2．3数学归纳法一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议数学归纳法的原理了解借助具体实例了解数学归纳法的原理．数学归纳法的简单应用理解理解数学归纳法的一般步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．二、预习指导1．预习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2．预习提纲(1)回顾已学知识，体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法．(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据，你能说出它的两个步骤吗?(3)结合课本第86－87页的例1－例3，体会用数学归纳法证明命题的2个步骤，解题时缺一不可；结合

2、课本第88－90页的例4和例5，体会用“归纳－猜想－证明”的方法处理问题．(4)阅读课本第85页至第90页内容，并完成课后练习．3．典型例题(1)数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)．数学归纳法证明命题的步骤是：①　递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；②　递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；(归纳假设)证明当n=k＋1时结论也正确．(归纳证明)由①，②可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．例1用数学归纳法证明过程中，①　当n=1时，左边有_____项，右边

3、有_____项；②　当n=k时，左边有_____项，右边有_____项；③　当n=k＋1时，左边有_____项，右边有_____项；④　等式的左右两边，由n=k到n=k＋1时有什么不同?分析：证明时注意：n取第一个值n0是什么；从n=k到n=k＋1时关注项的变化．解：①当n=1时，左边有2_项，右边有__1__项；②当n=k时，左边有_2k_项，右边有__k_项；③当n=k＋1时，左边有_2(k＋1)_项，右边有_k＋1_项；④等式的左边，由n=k到n=k＋1时多了两项：；等式的右边，由n=k到n=k＋1时多了两项：，少了一项：．(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，

4、应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题．例2用数学归纳法证明(n∈N*)分析：用数学归纳法证明问题时，①注意从“n=k到n=k＋1”时项的变化；②配凑递推假设；③检验是否用了归纳假设．证明：①　当n=1时，，结论成立；②　假设当n=k时结论成立，即则当n=k＋1时，∴当n=k＋1时结论成立由①，②可知，不等式对于从1开始的所有正整数n都成立．例3已知f(n)=(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N都能使m整除f(n)，求m的最大值．分析：归纳证明时，利用归纳假设创设递推条件，寻求f(k＋1

5、)与f(k)的递推关系，是解题的关键．解：∵f(1)=36，f(2)=108=3×36，f(3)=360=10×36∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明①　n=1，2时，由上得证；②　假设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则n=k＋1时，f(k＋1)=(2k＋9)·3k＋1＋9=(6k＋27)·3k＋9=(2k＋7)·3k＋9＋(4k＋20)·3k=f(k)＋36(k＋5)·3k－2(k≥2)∴f(k＋1)能被36整除；由①、②知f(n)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求m的最大值

6、等于36．例4平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．分析：注意从n=k到n=k＋1时的变化．解：①　当n=1时，平面内1个圆把平面分成2部分，此时n2－n＋2=2，结论成立；②　假设当n=k时结论成立，即平面内k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，则当n=k＋1时，第k＋1个圆与前面k个圆都相交，第k＋1个圆被前面k个圆分成2k段弧，每段弧都把原来的平面部分一分为二，因此多了2k个部分，所以平面内k＋1个圆把平面分成(k2－k＋2)＋2k=k2＋k＋2=(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即当n=k

7、＋1时结论成立；由①、②可知，平面内n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题，这种问题的解题流程为：归纳→猜想→证明，而证明往往会用数学归纳法．猜归法是发现与论证的完美结合．例5①　是否存在常数，使得对一切正整数都成立?并证明你的结论；②　是否存在a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2=(an2＋bn＋c)对于一切正整数n都成立?证明你的结论；③　已知，是否存在关于的整式，使得等式对于大于1的一切正整数都成立?证明你的结论．分析：根据已知条件“对一切正整数都成立”，我们