平面向量数量积坐标表示的应用

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1、平面向量数量积坐标表示的应用参考答案与试题解析　一、选择题（共4小题）1．（2012•松江区三模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是（　　）　A．1B．C．2D．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．1916785专题：计算题；平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，

2、故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故的最大值是2，故答案是2．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．　2．（2012•浙江模拟）已知向量，满足

3、

4、=2

5、

6、≠0，且关于x的函数f（x）=2x3

7、+3

8、

9、x2+6•x+5在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（　　）　A．[0.]B．[0，]C．（0，]D．[，π]考点：平面向量数量积坐标表示的应用．1916785专题：计算题；平面向量及应用．分析：求导数，利用函数f（x）=2x3+3

10、a

11、x2+6a•bx+5在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用

12、

13、=2

14、

15、≠0，利用向量的数量积，即可得到结论．解答：解：求导数可得f′（x）=6x2+6

16、

17、x+6，则由函数f（x）=2x3+3

18、a

19、x2+6a•bx+5在实数集R上单调递增，可得f′（x）=6x2+6

20、

21、x+6≥0恒成

22、立，即x2+

23、

24、x+≥0恒成立，故判别式△=﹣4≤0恒成立，再由

25、

26、=2

27、

28、≠0，可得4≤8

29、

30、•

31、

32、cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故选B．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查向量的数量积，解题的关键是利用判别式小于等于0在R上恒成立，属于中档题．　3．（2012•房山区一模）如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则的最大值是（　　）　A．2B．C．πD．4考点：平面向量数量积坐标表示的应用．1916785专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D

33、分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ），同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，=1+sin2θ的最大值是2，故答案是2点评：本题考查向量在几何中的应

34、用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．　4．（2012•威海模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（　　）　A．3B．C．6D．9考点：平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．1916785专题：平面向量及应用．分析：先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解：：以点A位坐标原点建立如图所示的

35、直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．　二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）5．在△ABC中，已

36、知=（cos18°，cos72°），=（2cos63