高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式达标训练 新人教a版选修4-5

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1、4.2用数学归纳法证明不等式更上一层楼基础·巩固1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（）A..n=1B..n=2C..n=3D..n=4思路分析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C2.用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证明不等式__________成立.思路分析：因为n＞1，所以第一步n=2.答案：1++<23.用数学归纳法证明(1+)(1+))(1+)…(1+)>(k>1)，则当n=k+1时，左端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个

2、数是_________.思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+)，最后一个是(1+)，共有2k-2k-1=2k-1项.答案：(1+)(1+)…(1+)2k-14.用数学归纳法证明（A.，B.是非负实数，n∈N）时，假设n=k命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________.思路分析：要想办法出现ak+1+bk+1，两边同乘以，右边也出现了要求证的()k+1.答案：两边同乘以5.用数学归纳法证明，假设n=k时，不等式成立之后，证明n=k+1时，应推证的目标不等式是__

3、_____________.思路分析：把n=k时的不等式中的k换成k+1即可.答案：综合·应用6.若n为大于1的自然数，求证：思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用.解：(Ⅰ)当n=2时，.(Ⅱ)假设当n=k时成立，即.则当n=k+1时，.7.求证：(n∈N+)思路分析：用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.解：记an=，（Ⅰ）当n=1时，a1==>1=,而a1=<2=，∴当n=1时，不等式

4、.（Ⅱ）假设n=k时不等式正确，即.当n=k+1时，∵,而+(k+1)=(k+1)(+1)=,,∴,即n=k+1时不等式正确；根据(Ⅰ)(Ⅱ)知对n∈N*，不等式正确.8.已知数列{B.n}是等差数列，B.1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.(1)求数列{B.n}的通项公式B.n;(2)设数列{A.n}的通项A.n=logA.(1+)(其中A.＞0且A.≠1)，记Sn是数列{A.n}的前n项和.试比较Sn与logA.B.n+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得∴

5、bn=3n-2.(2)证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…+)］,而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=；取n=2，有(1+1)(1+）>.推测：(1+1)(1+)…(1+0＞①(Ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.(Ⅱ)假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+)…+)>.则当n=k+1时，(1+1)(1+)…(1+)［

6、1+］>(1+)=.∵()3-()3=>0,∴(3k+2)>=.从而(1+1)(1+)…(1+)(1+)>，即当n=k+1时，①式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知，①式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.回顾·展望9.已知数列{A.n}的各项都是正数，且满足：A.0=1,A.n+1=A.n(4-A.n),n∈N.证明：A.n

7、程中，也有作差比较和利用单调性两种方法.证明：［方法一］用数学归纳法证明：（Ⅰ）当n=1时，an=1,a1=a0(4-a0)=，∴a00,∴ak-ak-1<0.又ak+1=ak(4-ak)=12［4-(ak-2)2］<2.∴n=

8、k+1时命题正确.由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对一切n∈N时有an