高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课后训练 新人教a版选修4-5

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1、4.2用数学归纳法证明不等式课后训练1．用数学归纳法证明(n≥n0且n∈N＋)，则n的最小值为(　　)．A．1B．2C．3D．42．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，先计算a2，a3，再猜想an等于(　　)．A．nB．n2C．n3D．3．用数学归纳法证明“(n∈N＋)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是(　　)．A．B．C．D．4．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3时”，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________．5．求证：(n≥2，

2、n∈N＋)．6．设n∈N＋，a＞b＞0，求证：an＞bn.7．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立．8．设x1，x2，…，xn为实数，用数学归纳法证明：

3、x1＋x2＋…＋xn

4、≤

5、x1

6、＋

7、x2

8、＋…＋

9、xn

10、.已知数列{an}中，a1＝1，.(1)设，，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．参考答案1.答案：B解析：当n＝1时，左边＝，右边＝10＝1,1＞1不成立；当n＝2时，左边＝＝2＋1＝3，右边＝，，成立．当n＝3时，左边＝＝3＋3＋1＝7，右边＝31＝3，7＞3，成立．2.答案

11、：B解析：∵(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，∴(a2－1)2－2(a2＋1)＋1＝0.∴a2＝4或a2＝0(舍去)．同理a3＝9或a3＝1(舍去)，∴猜想an＝n2.3.答案：C解析：当n＝k时，不等式为.当n＝k＋1时，左边＝.比较n＝k与n＝k＋1的左边，知应添加的项为.4.答案：10解析：当n＝1时，21＞13，成立；当n＝2时，22＞23，不成立；当n＝3时，23＞33，不成立；当n＝4时，24＞43，不成立；当n＝5时，25＞53，不成立；当n＝6时，26＞63，不成立；…当n＝9时，29＝512＞93，不成立；当

12、n＝10时，210＝1024＞103，成立．5.证明：(1)当n＝2时，右边＝，不等式成立．(2)假设当n＝k时(k≥2，k∈N＋)，有成立，则当n＝k＋1时，＝.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋时均成立．6.证明：(1)当n＝1时，a＞b显然成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak＞bk.因为a＞b＞0，把ak＞bk的两边同时乘以a，得ak＋1＞abk，所以有ak＋1＞abk＞b·bk＝bk＋1，即当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，原不等式成立．7.证明：(1)

13、当n＝2时，左边＝，右边＝，左边＞右边．∴不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，即.那么当n＝k＋1时，.∴n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)，知对一切大于1的自然数n，不等式都成立．8.证明：(1)我们已经知道

14、x1＋x2

15、≤

16、x1

17、＋

18、x2

19、，所以命题对n＝2成立．(2)设命题对n＝k成立，即

20、x1＋x2＋…＋xk

21、≤

22、x1

23、＋

24、x2

25、＋…＋

26、xk

27、，于是，当n＝k＋1时，

28、x1＋x2＋…＋xk＋1

29、＝

30、(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1

31、≤

32、x1＋x2＋…＋xk

33、＋

34、xk＋1

35、≤

36、x1

37、＋

38、x2

39、＋…＋

40、

41、xk

42、＋

43、xk＋1

44、.这就是说当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)及(2)，根据数学归纳法，可以断定命题对任何正整数都成立．9.解：(1)，，即bn＋1＝4bn＋2.，又a1＝1，故.所以是首项为，公比为4的等比数列，，.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.1°当n＝1时，，命题成立；2°设当n＝k时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时，.故由1°，2°知当c＞2时，an＜an＋1.当c＞2时，令，由得an＜α；当时，an＜α≤3.当时，α＞3，且1≤an＜α，于是(α－an)，(α－

45、1)．当时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3.因此不符合要求．所以c的取值范围是.