备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题37 新信息背景下的数列问题

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1、专题37新信息背景下的数列问题考纲要求:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。基础知识回顾:1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数

2、学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找

3、到一些线索。（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。应用举例:例1．已知数列满足，定义：使乘积为正整数的叫做“简易数”，则在内所有的“简易数”的和为________．【答案】4082例2：定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，若存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”（1）若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的

4、值（2）若数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列解：（1）思路：依题意可知先求出的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可时，时，时，是完全平方数（2）思路：若要观察的前项和是否为完全平方数，则要先求出的通项公式。由可求得当，时，的前项和即为，所以为“完全平方数列”当时，不是完全平方数不是“完全平方数列”综上所述：时，是“完全平方数列”，时，不是“完全平方数列”（3）思路：依题意可知该等差数列的前项和公式应为完全平方式，由等差数列求和

5、公式出发，可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：，所以有，再根据利用整数的特性求解即可。由①可令由②令，可得：代入到③可得：或当时，当时，当时，符合上式综上所述，例3：已知数列的前项和为，且满足，，设，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，，求实数的最小值；（3）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．（2）思路：由（1）可解出，进而可求出，由可在的情况下得到关于的恒成立不等式，从而

6、通过参变分离可求出的范围：，再验证是否成立即可（3）思路：时，可代入求出，从而，利用“指数型和”的定义，可先求出前项和，从而将问题转化为可否写成的形式，本题不便将变形为的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题。即判断是否有解。，为偶数时，为奇数时，。而只是个2相乘，所以可通过对分解后的每个因式能否表示为的形式进行讨论即可。解：由（1）可得：当时，，即，为“指数型和”当为奇数时，若为偶数，则为奇数，为奇数为奇数，若为奇数，则为偶数，为个奇数之和也为奇数当为奇数时，不存在“指数型和”综上所述：只有为“指数型和”方法、规

7、律归纳:含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”。但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整

8、旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加。实战演练:1．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A.B.C.D.【答案】C2．已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为()A.2017B.2018C.D.