备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题10 无处不考的函数性质问题

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1、专题10无处不考的函数性质问题考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．基础知识回顾:1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

2、图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3、奇、偶函数的性质（1）普通性质①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于

3、原点对称的区间上的单调性相反.④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(

4、x

5、)．（2）在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4．函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。（2）周期函数的性质：①若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；②若的周期中，存在一个最小的正数，则

6、称它为的最小正周期；③如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。应用举例:类型一、利用函数性质解决函数零点问题【例1】【2017广东省惠州市高三调研】已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，．如果函数有两个零点，则实数的值为（）A．B．C．0D．【答案】D【例2】【2017新疆兵团农二师华山中学月考】已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，可化为为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为当时，由，可得可得，即在

7、处的切线方程为，此时函数有且只有个零点，因此若函数有且只有两个零点，则的取值范围为．类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题【例3】【2017长郡中学高三入学考试】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的图象沿轴向右平移个单位后得到的函数解析式为,因为该函数为偶函数,所以即,由此可知选项C不符合题意,故选C.【例4】将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.【答案】C类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）

8、问题【例5】【河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试】设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】数列是单调递减数列，则f(1)>f(2)>f(3)>…，所以函数f(x)在x∈N+上是减函数，故有,解得.所以实数a的取值范围是本题选择B选项.【例6】【2017山东济南市高三摸底考试】设ω＞0，若函数f(x)＝sincos在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)A.B.C.D．[1，＋∞)【答案】B【解析】f(x)＝sincos＝sinωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈，故选B.点评：已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的

9、单调区间，然后利用集合间的关系求解．类型四、利用函数性质解不等式【例7】【山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是__________．【答案】点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各